Devemos encontrar a derivada da função dada e para isso realizaremos os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{align} & y=\frac{{{(x+1)}^{3}}}{\frac{{{x}^{3}}}{2}} \\ & y=\frac{{{(x+1)}^{3}}}{1}\cdot \frac{2}{{{x}^{3}}} \\ & y'=\frac{f'g-g'f}{{{g}^{2}}} \\ & y'=\frac{3{{(x+1)}^{2}}\left( {{x}^{3}} \right)-3{{x}^{2}}{{(x+1)}^{3}}}{{{x}^{6}}} \\ \end{align} \)

Portanto, a derivada da função dada será \(\boxed{y' = \frac{{3{{(x + 1)}^2}\left( {{x^3}} \right) - 3{x^2}{{(x + 1)}^3}}}{{{x^6}}}}\).