Não é apenas o dano causado pela prática do ato ilícito que gera a obrigação de reparação civil, ou seja, a obrigação de indenizar. Existem outras duas situações em que o dano sofrido deve ser reparado, independentemente da existência da culpa. O primeiro é quando a lei, expressamente, tipifica o ilícito e o dever de indenizar, o segundo é quando a atividade exercida resultar em lesão de direitos de terceiros. É importante salientar que nesses dois casos dever haver reparação, ainda que o causador do dano não tenha qualquer culpa. 

Sim, pode existir. No caso em que a dívida prescreve.Existe o dever, mas a reponsabilidade se encerou. 

ex: Um advogado que executa um trabalho e não recebe a sua remuneração, ele tem o prazo de 5 anos para cobrar. Caso não tenha sucesso, após este momento não poderá mais exercer seu direito. A pessoa que deve, tem o dever de pagar, mas não tem mais a responsabilidade. veja os art 205 e 205, cc. prescreve a pretenção, mas a dívida permanece. 

Espero ter ajudado e ter entendido a pergunta. 

É possível a existência de débito sem responsabilidade e de responsabilidade sem débito.

Conforme Nelson Rosenvald e Cristiano Chaves de Farias (2018), a obrigação perfeita é aquela constituída por débito e responsabilidade.

Débito ou schuld seria a prestação a ser cumprida pelo devedor em favor do credor, enquanto a responsabilidade ou haftung seria a sujeição que recai sobre o patrimônio do devedor ou de terceiros para satisfazer a obrigação devida.

Entretanto, é possível que haja débito sem responsabilidade, quando existe uma prestação a ser cumprida, mas inexiste a possibilidade de sujeitar o devedor ao seu cumprimento. Exemplo clássico são das dívidas prescritas, em que existe o direito material do credor, mas não há possibilidade de compelir o devedor ao cumprimento, que poderia se dar apenas de maneira voluntária.

Já na responsabilidade sem débito, inexiste prestação criada pelo sujeito que detém patrimônio sobre o qual pode recair a sujeição ao pagamento obrigatório (não voluntário). É o caso, por exemplo, do fiador. Ele não possui débito, mas possui responsabilidade patrimonial sobre eventual inadimplemento.