http://148.216.38.247/~rrusiles/Fie/Aprendizaje/enarbola2.pl?../Horizontal/as_2017_I_ex2_solu_r.txt
Revisemos el ejemplo visto en clase para cos(2x) y sen(2x)
Tenemos que:
e j θ = cos (θ) + j sen (θ) |
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación resulta:
(e j θ ) 2 = (cos (θ) + j sen (θ)) 2 |
Usando nuevamente la identidad de Euler en el primer miembro, y desarrollando el segundo miembro, tenemos:
e j 2 θ = cos(x) 2 + 2 cos(θ) j sen (θ) + j 2 sen 2 (θ) |
cos (2θ) + j sen (2θ) = cos 2 (θ) – sen 2 (θ) + 2 j cos(x) sen (θ) |
Y como dos números complejos son iguales, solo si son iguales sus partes reales e imaginarias, tenemos las igualdades (conocidas como identidades trigonométricas):
cos (2θ) = cos 2 (θ) – sen 2 (θ) |
sen (2θ) = 2 cos(θ) sen (θ) |
Lo anterior, podemos probarlo con cualquier ángulo y su doble, por ejemplo, si usamos x=45°, y 2x=90°, nos resulta la igualdad correcta:
cos (90°) = cos 2 (45°) – sen 2 (45°) |
sen(45°) | = | cos(45°) | = |
|
0 | = |
|
– |
|
0 | = 0 |
sen (90°) = 2 cos (45°) sen (45°) |
1 | = | 2 |
|
|
1 | = 1 |
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