Para resolver este problema, devemos colocar em prática conceitos de probabilidade e de analise combinatória, em especial de combinação simples. A combinação simples é caracterizada pelo agrupamento de elementos de um conjunto em subconjunto, desconsiderando subconjuntos que se diferem apenas pela ordem dos elementos. A quantidades de combinações simples de um determinado conjunto está expressa pela equação abaixo.

\(C_{(n,p)}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!},\)

em que \(n\) é a quantidade de elementos do conjunto e \(p\) a quantidade de elementos de cada subconjunto.

Assim, a probabilidade de ocorrerem \(x\) sucessos dentre \(n\) tentativas, onde \(p\) é a probabilidade de sucesso, é:

\(P(x)=C(n,p)\cdot p^{x}\cdot(1-p)^{n-x}\),

a)

Tendo isso em mente e dado que a probilidade da vacina ser eficiente é \(0,85\), denonimando de \(x\) a quantidade de pacientes imunizados, calcula-se a probabilidade de que,dentre os \(10\) pacientes vacinados, todos sejam imunizados:

\(\begin{align} P(x=10)&=C_{(10,10)}\cdot(0,85)^{10}\cdot(1-0,85)^{0} \\&=\dfrac{10!}{10!\cdot(10-10)!}\cdot(0,85)^{10}\cdot(0,15)^{0} \\&=\dfrac{10!}{10! \cdot 0!}\cdot(0,85)^{10}\cdot(0,15)^{0} \\&=1\cdot (0,85)^{10}\cdot(0,15)^{0} \\&=0,1969 \\&=19,69\text{ %} \end{align}\)

Portanto, a probabilidade de que todos os pacientes estejam imunizados é de \(\boxed{19,69\text{ %}}\).

b)

Analogamente:

\(\begin{align} P(x\geq8)&=P(x=8)+P(x=9)+P(x=10) \\&=C_{(10,8)}\cdot(0,85)^{8}\cdot(1-0,85)^{2}+C_{(10,9)}\cdot(0,85)^{9}\cdot(1-0,85)^{1}+0,1969 \\&=\dfrac{10!}{8!\cdot(10-8)!}\cdot(0,85)^{8}\cdot(0,15)^{2}+\dfrac{10!}{9!\cdot(10-9)!}\cdot(0,85)^{9}\cdot(0,15)^{1}+0,1969 \\&=\dfrac{10!}{8! \cdot 2!}\cdot(0,85)^{8}\cdot(0,15)^{2}+\dfrac{10!}{9! \cdot 1!}\cdot(0,85)^{9}\cdot(0,15)^{1}+0,1969 \\&=45\cdot (0,85)^{8}\cdot(0,15)^{2}+10\cdot (0,85)^{9}\cdot(0,15)^{1}+0,1969 \\&=0,2759+0,3474+0,1969 \\&=82,02\text{ %} \end{align}\)

Logo, a probabilidade de pelo menos \(8\) pacientes serem imunizados é de \(\boxed{82,02 \text{ %}}\).

c)

Finalmente, calcula-se a probabilidade de no máximo \(8\) pacientes serem imunizados:

\(\begin{align} P(x\leq8)&=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8) \\&=1-P(x=9)-P(x=10) \\&=1-0,3474-0,1969 \\&=45,57\text{ %} \end{align}\)

Portanto, a probabilidade de no máximo \(8\) pacientes serem imunizados é de \(\boxed{45,57 \text{ %}}\)