∫1-x/x²+6x+18
Seçao 12.7. Primitivas de funçoes racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutiveis do 2º grau.
Do livro do guidorizzi, vol 1, 5ª ed.
Explica bem a teoria que eh aplicada. Mas resolvendo
∫1-x/x²+6x+18
Analisando o denominador, no caso x²+6x+18, Δ<0.
Escrevendo como soma de quadrados, temos:
x²+6x+18=(x²+6x+9)+9=(x+3)²+9
Assim ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9
por substituiçao, fazendo u=x+3, du=dx
-x= 3-u
Entao, ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9 =∫1+3-u/u²+9=∫4-u/u²+9=∫4/u²+9-∫u/u²+9= A-B
Resolvendo A e B
A=∫4/u²+9=4*∫1/9*((u²/9)+1)=4/9*∫1/(u/3)²+1
por substituiçao, fazendo w=u/3, 3dw=du
Entao,
4/9∫1/(u/3)²+1 =4*3/9∫1/w²+1 =4/3*acrtgw + k1=4/3*arctg(x+3/3) + k1
B=∫u/u²+9
por substituicao, fazendo z=u²+9, dz=2udu
Entao,
∫u/u²+9=1/2*∫1/z=1/2*ln(z) + k2 = 1/2*ln((x+3)²+9) + k2
Logo,
∫1-x/x²+6x+18 = 4/3*arctg(x+3/3) - 1/2*ln((x+3)²+9 +k
sendo k= k1+k2
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