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Alguém sabe omo calcular a seguinte integral:

∫1-x/x²+6x+18

Cálculo IIMULTIVIX

2 resposta(s)

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Daphne

Há mais de um mês

Seçao 12.7. Primitivas de funçoes racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutiveis do 2º grau.

Do livro do guidorizzi, vol 1, 5ª ed.

Explica bem a teoria que eh aplicada. Mas resolvendo

∫1-x/x²+6x+18

Analisando o denominador, no caso x²+6x+18, Δ<0.

Escrevendo como soma de quadrados, temos:

x²+6x+18=(x²+6x+9)+9=(x+3)²+9

Assim ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9 

por substituiçao, fazendo u=x+3, du=dx

                                     -x= 3-u

Entao, ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9  =∫1+3-u/u²+9=∫4-u/u²+9=∫4/u²+9-∫u/u²+9= A-B

Resolvendo A e B

A=∫4/u²+9=4*∫1/9*((u²/9)+1)=4/9*∫1/(u/3)²+1   

por substituiçao, fazendo w=u/3, 3dw=du

Entao,

4/9∫1/(u/3)²+1 =4*3/9∫1/w²+1 =4/3*acrtgw + k1=4/3*arctg(x+3/3) + k1

B=∫u/u²+9

por substituicao, fazendo z=u²+9, dz=2udu

Entao,

∫u/u²+9=1/2*∫1/z=1/2*ln(z) + k2 = 1/2*ln((x+3)²+9) + k2

Logo,

∫1-x/x²+6x+18 = 4/3*arctg(x+3/3) - 1/2*ln((x+3)²+9 +k

sendo k= k1+k2

 

Seçao 12.7. Primitivas de funçoes racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutiveis do 2º grau.

Do livro do guidorizzi, vol 1, 5ª ed.

Explica bem a teoria que eh aplicada. Mas resolvendo

∫1-x/x²+6x+18

Analisando o denominador, no caso x²+6x+18, Δ<0.

Escrevendo como soma de quadrados, temos:

x²+6x+18=(x²+6x+9)+9=(x+3)²+9

Assim ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9 

por substituiçao, fazendo u=x+3, du=dx

                                     -x= 3-u

Entao, ∫1-x/x²+6x+18=∫1-x/(x+3)²+9  =∫1+3-u/u²+9=∫4-u/u²+9=∫4/u²+9-∫u/u²+9= A-B

Resolvendo A e B

A=∫4/u²+9=4*∫1/9*((u²/9)+1)=4/9*∫1/(u/3)²+1   

por substituiçao, fazendo w=u/3, 3dw=du

Entao,

4/9∫1/(u/3)²+1 =4*3/9∫1/w²+1 =4/3*acrtgw + k1=4/3*arctg(x+3/3) + k1

B=∫u/u²+9

por substituicao, fazendo z=u²+9, dz=2udu

Entao,

∫u/u²+9=1/2*∫1/z=1/2*ln(z) + k2 = 1/2*ln((x+3)²+9) + k2

Logo,

∫1-x/x²+6x+18 = 4/3*arctg(x+3/3) - 1/2*ln((x+3)²+9 +k

sendo k= k1+k2

 

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Gabrielle

Há mais de um mês

olha vc pode usar a regra da soma de integrais e fazer integral de 1, depois integral de 1/x (x/x²) e depos integral de 6x e depois a integral de 18, que vai dar x+lnX+3x²+18x

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes