fisica

Resultado é 3.200

  A resposta é 3.200.

Neste exercício, será calculada a densidade de um dado cilindro. Para isso, será utilizado o diagrama de corpo livre e a Segunda Lei de Newton (\(\sum \overrightarrow F=ma\)).

O primeiro caso a ser analisado consiste no cilindro suspenso por um dinamômetro. As forças exercidas sobre o cilindro são a tração \(T_1\) do dinamômetro (cujo sentido é orientado no eixo +y) e o seu próprio peso \(P\) (cujo sentido é orientado no eixo -y). Portanto, a equação da Segunda Lei de Newton fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \sum \overrightarrow F_y=m_{c}a\)

\(\Longrightarrow T_1+(-P)=m_c \cdot 0\)

\(\Longrightarrow T_1 = P\)

\(\Longrightarrow T_1 = m_c g\)   \((I)\)

Sendo \(m_c\) a massa do cilindro e \(g\) a aceleração da gravidade.

O segundo caso a ser analisado consiste no cilindro imerso na água e preso ao dinamômetro. As forças exercidas sobre o corpo são a tração \(T_2\) do dinamômetro (cujo sentido é orientado no eixo +y), o seu próprio peso \(P\) (cujo sentido é orientado no eixo -y) e o empuxo \(E\) (cujo sentido é orientado no eixo +y). Portanto, a equação da Segunda Lei de Newton fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \sum \overrightarrow F_y=m_{c}a\)

\(\Longrightarrow T_2+(-P)+E=m_c \cdot 0\)

\(\Longrightarrow T_2+E=P\)

O empuxo \(E\) é igual ao peso \(m_a g\) do fluido deslocado pelo cilindro. Sendo \(m_a \) a massa da água, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow T_2+m_a g=m_c g\)    \((II)\)

Sabendo que o volume \(V_c\) do cilindro é igual ao volume \(V_a\) da água deslocada, tem-se a seguinte relação:

\(\Longrightarrow V_a=V_c\)

\(\Longrightarrow { m_a \over \rho_a}={m_c \over \rho_c}\)

\(\Longrightarrow m_a={\rho_a \over \rho_c} m_c\)    \((III)\)

Sendo \(\rho_a\) a densidade volumétrica da água e \(\rho_c\) a densidade volumétrica do cilindro.

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow T_2+\bigg({ \rho_a \over \rho_c} m_c \bigg) g=m_c g\)

\(\Longrightarrow T_2+{ \rho_a \over \rho_c} m_c g=m_c g\)

Substituindo a equação \((I)\) na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow T_2+{\rho_a \over \rho_c} T_1 = T_1\)

\(\Longrightarrow {\rho_a \over \rho_c} T_1=T_1 - T_2\)

\(\Longrightarrow \rho_a T_1=\rho_c (T_1 - T_2)\)

\(\Longrightarrow \rho_c = \rho_a { T_1 \over T_1 - T_2}\)

Substituindo \(\rho_a=1.000 \space \mathrm {kg/m^3}\), \(T_1=15,7 \space \mathrm {N}\) e \(T_2=10,8 \space \mathrm {N}\) na equação anterior, o valor da densidade \(\rho_c\) do cilindro é:

\(\Longrightarrow \rho_c = 1.000 { 15,7 \over 15,7 - 10,8}\)

\(\Longrightarrow \rho_c = 1.000 \cdot 3,204\)

\(\Longrightarrow \rho_c = 3.204 \space \mathrm {kg/m^3}\)

Resposta correta: \(\fbox {$ 3.200 $}\)