Método da dicotomia

...

Nesse exercício vamos estudar o método da dicotomia.

Método da dicotomia, ou bissecção, é um método para encontrar os zeros de uma função em um intervalo monótono. Para tal, começamos pelos dois extremos do intervalo onde se encontra a raiz e a cada iteração verificamos se a posição média de tal intervalo se encontra à esquerda ou à direita da raiz verificando o sinal da função naquele ponto. A seguir cria-se um novo intervalo onde o ponto central é um dos extremos e que contenha a raiz. O processo é repetido até que a precisão procurada seja atingida.

A função dada é a seguinte:

$$f(x)=x^3-x^2-2$$

Que é a função cúbica deslocada para baixo, já que $x^2+2>0$, de forma que a raiz é deslocada para a direita:

Pelo gráfico, sabemos que a raiz está entre 1.5 e 2, de forma que tomemos:

$$(a_1,b_1)=(1.5,2)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_1-a_1|=0.5>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_1=\dfrac{a_1+b_1}2=1.75$$

$$f(c_1)=1.75^3-1.75^2-2\approx0.2969>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_2,b_2)=(1.5,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.5 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_2,b_2)=(1.5,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_2-a_2|=0.25>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_2=\dfrac{a_2+b_2}2=1.625$$

$$f(c_m)=1.625^3-1.625^2-2\approx-0.3496<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_3,b_3)=(1.625,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.625 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_3,b_3)=(1.625,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_3-a_3|=0.125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_3=\dfrac{a_3+b_3}2=1.6875$$

$$f(c_3)= 1.6875^3-1.6875^2-2\approx-0.04224<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_4,b_4)=(1.6875,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_4,b_4)=(1.6875,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_4-a_4|=0.0625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_4=\dfrac{a_4+b_4}2=1.71875$$

$$f(c_4)= 1.71875^3-1.71875^2-2\approx0.12326>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_5,b_5)=(1.6875, 1.71875)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.71875, de forma que tomemos:

$$(a_5,b_5)=(1.6875, 1.71875)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_5-a_5|=0.03125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_5=\dfrac{a_5+b_5}2=1.703125$$

$$f(c_5)= 1.703125^3-1.703125^2-2\approx0.0395>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_6,b_6)=(1.6875, 1.703125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.703125, de forma que tomemos:

$$(a_6,b_6)=(1.6875, 1.703125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_6-a_6|=0.015625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_6=\dfrac{a_6+b_6}2=1.6953125$$

$$f(c_6)= 1.6953125^3-1.6953125^2-2\approx-0.001613<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_7,b_7)=(1.6953125, 1.703125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.703125, de forma que tomemos:

$$(a_7,b_7)=( 1.6953125, 1.703125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_7-a_7|=0.0078125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_7=\dfrac{a_7+b_7}2=1.69921875$$

$$f(c_7)= 1.69921875^3-1.69921875^2-2\approx0.0188853>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_8,b_8)=( 1.6953125, 1.69921875)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.69921875, de forma que tomemos:

$$(a_8,b_8)=( 1.6953125, 1.69921875)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_8-a_8|=0.00390625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_8=\dfrac{a_8+b_8}2=1.697265625$$

$$f(c_8)= 1.697265625^3-1.697265625^2-2\approx0.008620>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_9,b_9)=( 1.6953125, 1.697265625)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.697265625, de forma que tomemos:

$$(a_9,b_9)=( 1.6953125, 1.697265625)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_9-a_9|=0.001953125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_9=\dfrac{a_9+b_9}2=1.6962890625$$

$$f(c_9)= 1.6962890625^3-1.6962890625^2-2\approx0.003500>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{10},b_{10})=(1.6953125, 1.6962890625)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.6962890625, de forma que tomemos:

$$(a_{10},b_{10})=( 1.6953125, 1.6962890625)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{10}-a_{10}|=0.0009765625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{10}=\dfrac{a_{10}+b_{10}}2=1.69580078125$$

$$f(c_{10})= 1.69580078125^3-1.69580078125^2-2\approx0.0009423>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{11},b_{11})=(1.6953125, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{11},b_{11})=(1.6953125, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{11}-a_{11}|=0.00048828125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{11}=\dfrac{a_{11}+b_{11}}2=1.695556640625$$

$$f(c_{11})= 1.695556640625^3-1.695556640625^2-2\approx-0.0003356<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_{12},b_{12})=( 1.695556640625, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.695556640625 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{12},b_{12})=(1.695556640625, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{12}-a_{12}|=0.000244140625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{12}=\dfrac{a_{12}+b_{12}}2=1.6956787109375$$

$$f(c_{12})= 1.6956787109375^3-1.6956787109375^2-2\approx0.000303>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{13},b_{13})=(1.6956787109375, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6956787109375 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{13},b_{13})=(1.6956787109375, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{13}-a_{13}|=0.0001220703125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{13}=\dfrac{a_{13}+b_{13}}2=1.69573974609375$$

$$f(c_{13})= 1.69573974609375^3-1.69573974609375^2-2\approx0.00062>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{14},b_{14})=(1.6956787109375, 1.69573974609375)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6956787109375 e 1.69573974609375, de forma que tomemos:

$$(a_{14},b_{14})=(1.6956787109375, 1.69573974609375)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{13}-a_{13}|=0.00006103515625<0.0001$$

Como o erro é inferior ao pedido, chegamos ao nosso resultado:

$$c_{14}=\dfrac{a_{14}+b_{14}}{2}=1.695709228515625$$

Temos, portanto, a raiz:

$$\boxed{x_0\approx1.6957}$$

Nesse exercício vamos estudar o método da dicotomia.

Método da dicotomia, ou bissecção, é um método para encontrar os zeros de uma função em um intervalo monótono. Para tal, começamos pelos dois extremos do intervalo onde se encontra a raiz e a cada iteração verificamos se a posição média de tal intervalo se encontra à esquerda ou à direita da raiz verificando o sinal da função naquele ponto. A seguir cria-se um novo intervalo onde o ponto central é um dos extremos e que contenha a raiz. O processo é repetido até que a precisão procurada seja atingida.

A função dada é a seguinte:

$$f(x)=x^3-x^2-2$$

Que é a função cúbica deslocada para baixo, já que $x^2+2>0$, de forma que a raiz é deslocada para a direita:

Pelo gráfico, sabemos que a raiz está entre 1.5 e 2, de forma que tomemos:

$$(a_1,b_1)=(1.5,2)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_1-a_1|=0.5>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_1=\dfrac{a_1+b_1}2=1.75$$

$$f(c_1)=1.75^3-1.75^2-2\approx0.2969>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_2,b_2)=(1.5,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.5 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_2,b_2)=(1.5,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_2-a_2|=0.25>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_2=\dfrac{a_2+b_2}2=1.625$$

$$f(c_m)=1.625^3-1.625^2-2\approx-0.3496<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_3,b_3)=(1.625,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.625 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_3,b_3)=(1.625,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_3-a_3|=0.125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_3=\dfrac{a_3+b_3}2=1.6875$$

$$f(c_3)= 1.6875^3-1.6875^2-2\approx-0.04224<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_4,b_4)=(1.6875,1.75)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.75, de forma que tomemos:

$$(a_4,b_4)=(1.6875,1.75)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_4-a_4|=0.0625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_4=\dfrac{a_4+b_4}2=1.71875$$

$$f(c_4)= 1.71875^3-1.71875^2-2\approx0.12326>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_5,b_5)=(1.6875, 1.71875)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.71875, de forma que tomemos:

$$(a_5,b_5)=(1.6875, 1.71875)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_5-a_5|=0.03125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_5=\dfrac{a_5+b_5}2=1.703125$$

$$f(c_5)= 1.703125^3-1.703125^2-2\approx0.0395>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_6,b_6)=(1.6875, 1.703125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6875 e 1.703125, de forma que tomemos:

$$(a_6,b_6)=(1.6875, 1.703125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_6-a_6|=0.015625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_6=\dfrac{a_6+b_6}2=1.6953125$$

$$f(c_6)= 1.6953125^3-1.6953125^2-2\approx-0.001613<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_7,b_7)=(1.6953125, 1.703125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.703125, de forma que tomemos:

$$(a_7,b_7)=( 1.6953125, 1.703125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_7-a_7|=0.0078125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_7=\dfrac{a_7+b_7}2=1.69921875$$

$$f(c_7)= 1.69921875^3-1.69921875^2-2\approx0.0188853>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_8,b_8)=( 1.6953125, 1.69921875)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.69921875, de forma que tomemos:

$$(a_8,b_8)=( 1.6953125, 1.69921875)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_8-a_8|=0.00390625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_8=\dfrac{a_8+b_8}2=1.697265625$$

$$f(c_8)= 1.697265625^3-1.697265625^2-2\approx0.008620>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_9,b_9)=( 1.6953125, 1.697265625)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.697265625, de forma que tomemos:

$$(a_9,b_9)=( 1.6953125, 1.697265625)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_9-a_9|=0.001953125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_9=\dfrac{a_9+b_9}2=1.6962890625$$

$$f(c_9)= 1.6962890625^3-1.6962890625^2-2\approx0.003500>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{10},b_{10})=(1.6953125, 1.6962890625)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.6962890625, de forma que tomemos:

$$(a_{10},b_{10})=( 1.6953125, 1.6962890625)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{10}-a_{10}|=0.0009765625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{10}=\dfrac{a_{10}+b_{10}}2=1.69580078125$$

$$f(c_{10})= 1.69580078125^3-1.69580078125^2-2\approx0.0009423>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{11},b_{11})=(1.6953125, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6953125 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{11},b_{11})=(1.6953125, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{11}-a_{11}|=0.00048828125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{11}=\dfrac{a_{11}+b_{11}}2=1.695556640625$$

$$f(c_{11})= 1.695556640625^3-1.695556640625^2-2\approx-0.0003356<0$$

Como o resultado é negativo, a raiz está à direita, de forma que temos $(a_{12},b_{12})=( 1.695556640625, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.695556640625 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{12},b_{12})=(1.695556640625, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{12}-a_{12}|=0.000244140625>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{12}=\dfrac{a_{12}+b_{12}}2=1.6956787109375$$

$$f(c_{12})= 1.6956787109375^3-1.6956787109375^2-2\approx0.000303>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{13},b_{13})=(1.6956787109375, 1.69580078125)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6956787109375 e 1.69580078125, de forma que tomemos:

$$(a_{13},b_{13})=(1.6956787109375, 1.69580078125)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{13}-a_{13}|=0.0001220703125>0.0001$$

Então para o ponto médio:

$$c_{13}=\dfrac{a_{13}+b_{13}}2=1.69573974609375$$

$$f(c_{13})= 1.69573974609375^3-1.69573974609375^2-2\approx0.00062>0$$

Como o resultado é positivo, a raiz está à esquerda, de forma que temos $(a_{14},b_{14})=(1.6956787109375, 1.69573974609375)$.

Pelo novo intervalo a raiz está entre 1.6956787109375 e 1.69573974609375, de forma que tomemos:

$$(a_{14},b_{14})=(1.6956787109375, 1.69573974609375)$$

De forma que o erro é:

$$\epsilon=|b_{13}-a_{13}|=0.00006103515625<0.0001$$

Como o erro é inferior ao pedido, chegamos ao nosso resultado:

$$c_{14}=\dfrac{a_{14}+b_{14}}{2}=1.695709228515625$$

Temos, portanto, a raiz:

$$\boxed{x_0\approx1.6957}$$