Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28?

y' + 7y = 28

dy/dx +7y =28

dy+7ydx=28dx

dy=28dx-7ydx

dy=(28-7y) * dx

(1/(28-7y)) * dy = dx

∫(1/(28-7y)) * dy = ∫ dx

∫(1/(28-7y)) * dy = x + c₁ ...........c₁ é uma constante

∫(1/(28-7y)) * dy = x + c₁      fazendo u =28-7y ==>du = -7 dy


∫(1/u) * du/(-7) = x + c₁

(-1/7) * ln u  = x + c₁   ...como u = 28-7y

(-1/7) * ln (28-7y)  = x +c₁

 ln (28-7y)  = (-7) *(x + c₁)

28-7y = e ^((-7) *(x + c₁))

-7y =-28 + e ^((-7) *(x + c₁))

y=4 +(1/7) *  e ^((-7) *(x + c₁))

y=4 +(1/7) *  e ^((-7) *(x ))  * e^((-7)*c₁)  

y=4 +(1/7) * e^((-7)*c₁) * e ^((-7) *(x ))    

(1/7) * e^((-7)*c₁)  = c₂     ...c₂  é uma constante


y= 4 +c₂* e ^(-7x )      é a resposta

w=4 +c₂* e ^(-7x )   

Para resolver essa equação que é uma das mais simples de todas EDOs, basta utilizar operadores diferenciais e resolver a equação característica para a equação homogênea associada.

Dy + 7 = 0

logo a solução da equação homogênea é y(x) :- Ce^-7x

como a solução geral é a soma da homogênea associada e da particular

yg = yh + yp

calculando a solução particular yp

Observar que o segundo lado da equação é o número 28 e como o primeiro lado deve ser igual ao segundo e sabendo-se que a derivada de uma constante é 0( a segunda solução deve ser uma constante), tem-se

7y=28 => y = 4

logo a solução geral é y(x) :- Ce^-7x +4

Observação: este procedimento somente foi usado pois temos uma EDO de primeira ordem de coefcientes constantes e no segundo lado da equação é um valor real.

Essa EDO é separável, veja:

\(\frac{dy}{dx}=28-7y\\ dy=(28-7y)dx\\ \frac{dy}{28-7y}=dx\)

integrando dos dois lados:

\(\int \frac{dy}{28-7y}=\int dx \)

Vamos calcular \(\int \frac{dy}{28-7y}\)

Seja \(u= 29-7y\rightarrow du=-7dy\)

Assim:

\(\int \frac{dy}{28-7y}=-\frac{1}{7}\int \frac{dy}{u}=-\frac{1}{7}lnu \)

Voltando para  variável original:

\(-\frac{1}{7}lnu=-\frac{1}{7}ln(28-7y) \)

Assim:

\(\int \frac{dy}{28-7y}=\int dx\\ -\frac{1}{7}ln(28-7y)=x+C\\ ln(28-7y)=-7(x+C)\\ e^{ln(28-7y)}=e^{-7(x+C)}\\ 28-7y=e^{-7x} +e^{-7C}\\ -7y=e^{-7x} +e^{-7C}-28\\ y=\frac{-1}{7}(e^{-7x} +e^{-7C}-28)\)

Vamos dizer que \(e^{-7C}=K\)

Assim:

\(\boxed{w=y=\frac{-1}{7}(e^{-7x} +K-28)}\)