O valor da derivada de f(x)= lnx2 em P(6) é:

Devemos encontrar a derivada da função dada e para isso realizaremos os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{align} & f(x)=\ln {{x}^{2}} \\ & f'(x)=\frac{d}{dx}({{x}^{2}})\cdot \frac{d}{dx}\left( \ln {{x}^{2}} \right) \\ & f'(x)=2x\cdot \frac{d}{dx}\left( \ln {{x}^{2}} \right) \\ & f'(x)=2x\cdot \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right) \\ & f'(x)=\left( \frac{2x}{{{x}^{2}}} \right) \\ & f'(x)=\frac{2}{x} \\ \end{align} \)

Calcularemos agora o valor dessa derivada em \(P(6)\):

\(\begin{align}&&f'\left( 6 \right) = \frac{2}{6}\\&&f'\left( 6 \right) = \frac{1}{3}\end{align}\)

Portanto, a derivada da função dada será \(\boxed{f'\left( 6 \right) = \frac{1}{3}}\).