Como achar o fator integrante?

I(x)= e∫p(x)

Suponha que a EDO de primeira ordem seja da forma: y ′ (x) + p(x) y(x) = g(x)

Multiplicando a EDO por u(x): u(x) y ′ (x) + u(x) p(x) y(x) = u(x) g(x).

Definindo: u ′ (x) = u(x) p(x),

ficamos com: u(x) y ′ (x) + u ′ (x) y(x) = u(x) g(x),

ou ainda: d [u(x) y(x)] = u(x) g(x)

Portanto, u(x) y(x) = Z u(x) g(x) dx + C

onde C é uma constante de integraçnao que deve ser determinada com uma condição adicional sobre y(x). Segue que: y(x) = R u(x) g(x) dx + C / u(x) .

Para obter o fator integrante u(x), precisamos:

d u(x)/dx = u(x) p(x)

Usando o método de separação de variáveis rescrevemos esta equação na forma: du/u = p(x) dx.

Integrando obtemos:

ln u = Z p(x) dx + K