como calcular e determinar a integral f(x)dx para a função f(x^3-1/x^2(x-2)^3)?

DY/DX (3x^3-1/x^2.(x^3-6x^2+12x-8)

multiplique oa parênteses por x^2

= (3x^3-1/ x^5-6x^4+12x^3-8x^2)

calcule a derivada

=3.3x^2.(x^5-6x^4+12x^3-8x^2)-(3x^3-1).(5x^4-6.4x^3+12.3x^2-8.2x)/(x^5-6x^4+12x^3-8x^)^2

simplificando a expressão

= -6x^7+18x^6-19x^4-24x^3+36x^2-16x/(x^5-6x^4+12x^3-8x^2)^2

Devemos encontrar a integral da função dada e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{array}{l} \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \int_{}^{} {{x^3}} - \int_{}^{} {\frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}} \\ \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \int_{}^{} {\frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}} \\ \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \int_{}^{} {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8}}{{{x^2}}}} \\ \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \int_{}^{} {\frac{{ - 6{x^2}}}{{{x^2}}} + \int_{}^{} {\frac{{12x}}{{{x^2}}} + \int_{}^{} {\frac{{ - 8}}{{{x^2}}}} } } } \\ \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 6x - 12\ln x - \frac{8}{x}\\ \int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{2}-\frac{{{x^2}}}{2} + 6x - 12\ln x - \frac{8}{x} + C \end{array} \)

Portanto, aintegral da função dada será \(\boxed{\int_{}^{} {{x^3} - \frac{{{{(x - 2)}^3}}}{{{x^2}}}dx} = \frac{{{x^4}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{2} + 6x - 12\ln x - \frac{8}{x} + C}\).