Como transformar equações polares em cartesianas?

lembrando que:(x,y)–>(R,(teta)) 
x = R cos (teta) (1) 
e 
y = R sen (teta) (2) 
e 
R² = x² + y² (3) 

o R sai direto da equação (3): 
R = (x²+y²)^(1/2) 

divide-se então, a equação (2) por (1): 
R sen (teta) / R cos (teta) = y / x 
tg (teta) = y / x 
(teta) = arctg (y / x) 

então, as coordenadas polares tem as seguintes relações: 
(R, (teta))=((x²+y²)^(1/2), arctg (y / x))

Em coordenas polares podemos escrever \(x\) e \(y\) em função de \(r\) e \(\theta\), fazendo:

                                                                 \(x = r \cos \theta\)

                                                                 \(y = r sen \theta\)

se elevarmos as duas equações anteriores ao quadrado, e soma-las obtemos a nossa primeira relação:

                                                                \(r^2=x^2+y^2 \)

Com as mesmas duas equações anteriores, dividindo a primeira pela segunda, obtemos:\(\frac{y}{x}=\tan \theta\) ou  ainda \(\theta = \arctan (\frac{y}{x})\)

Com base nessas relações podemos escrever qualquer curva polar na sua forma cartesiana. É importante notar, entretanto, que muitas equações polares quando escritas na forma cartesiana não poderão ser escritas explicitamente, ou seja, não conseguiremos escrever \(y=f(x)\), mas obteremos uma equação do tipo \(G(x,y)=0\).

Vejamos um exemplo, considere a curva polar \(r=\sqrt{\cos 2\theta}\), como escreve-la na forma cartesiana?

Primeiro lembremos que \(r^2=x^2+y^2 \), e que \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta -sen^2 \theta\), temos que :

                                                              \(x^2+y^2= \cos^2 \theta - sen^2 \theta\)

Da relação \(x = r \cos \theta\) obtemos \(\cos^2 \theta =\frac{x}{r} =\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2}}\), e de \(y = r sen \theta\), tomando o quadrado obtemos \(sen^2 \theta =\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2}}\)

Assim, a equação \(r=\sqrt{\cos 2\theta}\) em coordenadas cartesianas fica \(x^2+y^2= \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2}} -\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2}}\)