Neste exercício, será analisada uma dada função de posição ao longo do tempo. Essa dada função está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow r(t)=\Big [(0,28\space \mathrm {m/s})t+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})t^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})t^3 \Big]j\)

(a)

Primeiro, pede-se as funções de velocidade do esquilo nos eixos x e y. Para isso, basta derivar a função de posição em relação ao tempo, pois a velocidade é a variação da posição ao longo do tempo, ou seja:

\(\Longrightarrow v(t)={dr(t) \over dt}\)

A função derivada está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {dr(t) \over dt}={d \over dt} \bigg\{ \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})t+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})t^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})t^3 \Big]j \bigg\}\)

\(\Longrightarrow v(t)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+2*(0,036 \space \mathrm {m/s^2})t \Big]i + \Big[3*(0,019 \space \mathrm {m/s^3})t^2 \Big]j\)

\(\Longrightarrow v(t)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,072 \space \mathrm {m/s^2})t \Big]i + \Big[(0,057 \space \mathrm {m/s^3})t^2 \Big]j\)

É possível observar que a equação de velocidade está no formato \(v(t)= \Big[v_x(t) \Big]i+ \Big[v_y(t) \Big]j\). Portanto, as funções de velocidade do esquilo nos eixos x e y são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_x(t) = (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,072 \space \mathrm {m/s^2})t $}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_y(t) = (0,057 \space \mathrm {m/s^3})t^2 $}\)

(b)

Agora, será calculada a distância do esquilo de sua posição em \(t_0=0 \space \mathrm s\) até sua posição em \(t_1=5 \space \mathrm s\). Mas antes, é necessário conhecer a posição do esquilo em cada instante de tempo.

Primeiro, será calculada a posição do esquilo em \(t_0=0 \space \mathrm s\). Portanto, o valor de \(r(t_0)\) é:

\(\Longrightarrow r(t_0)=\Big [(0,28\space \mathrm {m/s})t_0+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})t_0^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})t_0^3 \Big]j\)

\(\Longrightarrow r(0)=\Big [(0,28\space \mathrm {m/s})*(0 \space \mathrm s)+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})*(0 \space \mathrm s)^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})*(0 \space \mathrm s)^3 \Big]j\)

\(\Longrightarrow r(0)=(0 \space \mathrm s)i+(0 \space \mathrm s)j\)

Agora, será calculada a posição do esquilo em \(t_1=5 \space \mathrm s\). Portanto, o valor de \(r(t_1)\) é:

\(\Longrightarrow r(t_1)=\Big [(0,28\space \mathrm {m/s})t_1+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})t_1^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})t_1^3 \Big]j\)

\(\Longrightarrow r(5)=\Big [(0,28\space \mathrm {m/s})*(5 \space \mathrm s)+(0,036 \space \mathrm {m/s^2})*(5 \space \mathrm s)^2 \Big]i + \Big[(0,019 \space \mathrm {m/s^3})*(5 \space \mathrm s)^3 \Big]j\)

\(\Longrightarrow r(5)=\Big [(1,4\space \mathrm {m})+(0,9 \space \mathrm {m}) \Big]i + \Big[(2,375 \space \mathrm {m}) \Big]j\)

\(\Longrightarrow r(5)=(2,3\space \mathrm {m})i + (2,375 \space \mathrm {m} )j\)

Agora que conhecemos a posição do esquilo em cada instante de tempo, será calculada a variação da posição do esquilo no plano xy. Os cálculos estão apresentados a seguir:

\(\Longrightarrow r(5)-r(0)= \Big [(2,3\space \mathrm {m})i + (2,375 \space \mathrm {m} )j \Big ]- \Big [ (0 \space \mathrm s)i+(0 \space \mathrm s)j \Big ]\)

\(\Longrightarrow r(5)-r(0)= (2,3\space \mathrm {m})i + (2,375 \space \mathrm {m} )j \)

A distância que o esquilo percorreu é igual ao módulo de \(r(5)-r(0)\). Portanto, o valor de \(|r(5)-r(0)|\) é:

\(\Longrightarrow |r(5)-r(0)|=\Big | (2,3\space \mathrm {m})i + (2,375 \space \mathrm {m} )j \Big |\)

\(\Longrightarrow |r(5)-r(0)|= \sqrt{(2,3\space \mathrm {m})^2 + (2,375 \space \mathrm {m} )^2 }\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ |r(5)-r(0)|= 3,31 \space \mathrm m $}\)

(c)

Agora, serão determinados o módulo e a direção da velocidade do esquilo no instante \(t_1=5 \space \mathrm s\). Para isso, será utilizada a função de velocidade \(v(t)\) encontrada na letra a) deste exercício. Essa função está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow v(t)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,072 \space \mathrm {m/s^2})t \Big]i + \Big[(0,057 \space \mathrm {m/s^3})t^2 \Big]j\)

Substituindo \(t_1=5 \space \mathrm s\) na função \(v(t)\), :

\(\Longrightarrow v(t_1)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,072 \space \mathrm {m/s^2})t_1 \Big]i + \Big[(0,057 \space \mathrm {m/s^3})t_1^2 \Big]j\)

\(\Longrightarrow v(5)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,072 \space \mathrm {m/s^2})*(5 \space \mathrm s) \Big]i + \Big[(0,057 \space \mathrm {m/s^3})*(5 \space \mathrm s)^2 \Big]j\)

\(\Longrightarrow v(5)= \Big [ (0,28\space \mathrm {m/s})+(0,36 \space \mathrm {m/s}) \Big]i + \Big[(1,425 \space \mathrm {m/s}) \Big]j\)

\(\Longrightarrow v(5)=(0,64 \space \mathrm {m/s})i + (1,425 \space \mathrm {m/s})j\)

Conhecendo os componentes de velocidade nos eixos x e y, o módulo da velocidade é:

\(\Longrightarrow v(5)=\sqrt{(0,64 \space \mathrm {m/s})^2 + (1,425 \space \mathrm {m/s})^2}\)

\(\Longrightarrow v(5)=1,562 \space \mathrm {m/s}\)

Para determinar a direção de \(v(5)\), será calculado o seu ângulo em relação à horizontal (eixo x). Portanto, o valor de \(\theta\) é:

\(\Longrightarrow \theta=\tan^{-1}\bigg({v_y(5) \over v_x(5)} \bigg)\)

\(\Longrightarrow \theta=\tan^{-1}\bigg({1,425 \over 0,64} \bigg)\)

\(\Longrightarrow \theta=65,81^\circ\)

Concluindo, a velocidade do esquilo em \(t_1=5 \space \mathrm s\) possui os seguintes parâmetros:

- Módulo: \(\fbox {$ v(5)=1,562 \space \mathrm {m/s} $}\)

- Direção: \(\fbox {$ \theta=65,81^\circ $}\) do leste para o norte ou \((90^\circ - 65,81^\circ)= \fbox {$ 24,19^\circ $}\) do norte para o leste.