Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m-1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Quest.:

Sendo ABC retângulo em A, então temos que os vetores AC e AB são ortogonais. Daí temos que: 

 AC.AB = 0 

AC = C - A= (1, 3, -1) - (m, 1, 0)= (1-m, 2, -1)

AB= B - A= (m-1, 2m, 2) - (m, 1,0)= (-1, 2m-1,2)

AC.AB =0

(1-m,2,-1)(-1,2m-1,2)= 0

1-m.(-1) + 2(2m-1) + (-1)2= 0

-1+m +4m -2 -2 =0

5m= 5

m=1

AB=B-A (-1,2m-1,2)

AC=C-A (1-m,2,-1)

AB.AC = 0

(-1,2m-1,2) . (1-m,2,-1) = 0

-1 + m + 4m - 2 -2 = 0

Resposta m = 1

Primeiramente, vamos determinar os vetores AB e AC:

\(\begin{align} & AB=\left( Xb-Xa,\text{ }Yb-Ya,\text{ }Zb-Za \right) \\ & AB=\left( \left( m-1 \right)-m,\text{ }2m-1,\text{ }2-0 \right)\text{ } \\ & AB=\left( -1,\text{ }2m-1,\text{ }2 \right) \\ & \\ & AC=\left( Xc-Xa,\text{ }Yc-Ya,\text{ }Zc-Za \right)\text{ } \\ & AC=~\left( 1-m,\text{ }3-1,\text{ }\left( -1 \right)-0 \right)\text{ } \\ & AC=\left( 1-m,\text{ }2,\text{ }-1 \right) \\ \end{align} \)

Agora realizaremos o produto escalar entre os vetores:

\(\begin{align} & AB\text{ }.\text{ }AC=0\left( -1,\text{ }2m-1,\text{ }2 \right)\text{ }.\text{ }\left( 1-m,\text{ }2,\text{ }-1 \right)\text{ } \\ & AB\text{ }.\text{ }AC=0\left( -1 \right)\left( 1-m \right)+\left( 2m-1 \right)\left( 2 \right)+\left( 2 \right)\left( -1 \right) \\ & AB\text{ }.\text{ }AC=0-1+m+4m\text{ }-2-2 \\ & AB\text{ }.\text{ }AC=05m-5 \\ & AB\text{ }.\text{ }AC=05m \\ & AB\text{ }.\text{ }AC=\text{ }5m \\ & 5m=5 \\ & m=\text{ }1 \\ \end{align}\ \)

Portanto, temos que \(\boxed{m = 1}\).