O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:

Dada a função vetorial \(\vec{r}(t)=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k}\), calcula-se o limite da função \(\lim_{t \to t_{0}}\vec{r}(t)\) aplicando-o em cada uma das funções que a define: \(\lim_{t \to t_{0}} \vec{r}(t)=\lim_{t \to t_{0}}f(t)\hat{i}+\lim_{t \to t_{0}}g(t)\hat{j}+\lim_{t \to t_{0}}h(t)\hat{k}\)

Para a função \(\vec{r}(t)\) dada, temos:

\(f(t)=t^2\)

\(g(t)=t-1\)

\(h(t)=e^t\)

Aplicando o limite \(t \to 0\) em cada uma das funções:

\(\lim_{t \to 0}f(t)=\lim_{t \to 0} t^2=0^2=0\)

\(\lim_{t \to 0}g(t)=\lim_{t \to 0} (t-1)=0-1=-1\)

\(\lim_{t \to 0}h(t)=\lim_{t \to 0} e^t=e^0=1\)

Assim,

\(\boxed{\lim_{t \to t_{0}} \vec{r}(t)=0\hat{i}-1\hat{j}+1\hat{k}}\)