y=1/(6×+3)4 qual forma mais fácil pra calcular essa derivada ??

Seja

\(y=\frac{1}{(6x+3)^4}\)

Existem duas formas para calculá-la:

-Regra do quociente

-Regra da cadeia

A regra da cadeia é a mais fácil, basta reescrever a equação como:

\(y=\frac{1}{(6x+3)^4}=(6x+3)^{-4}\)

Assim, queremos derivar \(\frac{d}{dx}\left(\left(6x+3\right)^{-4}\right)\)

Vamos aplicar a regra da cadeia \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) fazendo \(f=u^{-4},\:\:u=\left(6x+3\right)\)

Assim:

\(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{d}{du}\left(u^{-4}\right)\frac{d}{dx}\left(6x+3\right)\)

Mas:

\(\frac{d}{du}\left(u^{-4}\right)=-\frac{4}{u^5}\\ \frac{d}{dx}\left(6x+3\right)=6\)

\(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\left(-\frac{4}{u^5}\right)\cdot \:6\)

Voltando para a variável original \(u=\left(6x+3\right)\) temos:

\(\frac{df\left(u\right)}{dx}=-\frac{24}{\left(6x+3\right)^5}\)

Assim

\(\boxed{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(6x+3\right)^4}\right)=\frac{24}{\left(6x+3\right)^5}}\)