como achar a translação de uma função complexa?

Uma função que possui derivada em um ponto isolado de seu domínio não pode ser analítica, pois, a definição acima exige que a função tenha derivada em todos os pontos de um conjunto aberto contendo o referido ponto. O exemplo seguinte trata de uma função que possui derivada em um ponto z₀ de seu domínio sem que seja analítica neste ponto z₀.

Exemplo: A função f(z)=|z|² é derivável em z=0, pois

f'(0) =	lim z0	|z|² z	=	lim z0	z.z * z	=	lim z0	z * = 0

Consideremos z₀ C sendo z₀ 0

f'(z0) =	lim zz0	|z|²−|z0|² z−z0	=	lim zz0	(x²−x0²)+(y²−y0²) (x−x0)+i(y−y0)

Este limite não existe, pois quando z z₀ por caminhos diferentes, os resultados dos limites são distintos, assim f possui derivada em z₀=0 mas não é derivável em qualquer outro ponto distinto z=0. Concluímos então que f não é analítica em z=0.