O Defensor Público pode escolher qual processo pegar?

Não por se tratar de serviço público ele atende os processos por distribuição não sendo facultado a escolha.

Não é questão de escolher qual o processo pegar, existe um regulamento que explica explicitamente quais areas estao inclusas no atendimento do defensor e qual o valor a renda do cidadão, para que o mesmo possa procurar a defensoria. Tem um site ótimo www.defensoriapublica.com.br 

Não. O defensor recebe os processos por distribuição e, uma vez que a parte faça jus aos serviços da justiça gratuita e área de atendimento, deverá o defensor atender