Como saber se uma função é continua ou diferenciavel?

Toda função diferenciável é contínua em um dado ponto \(x_0\), mas o contrário não é verdade. Para que seja contínua, o limite nesse ponto deve corresponder ao valor da função no ponto, ou seja:

\(\lim _{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

Para que seja diferenciável no ponto, a derivada deve existir no ponto. Um exemplo de função contínua em um ponto porém não diferenciável é a função raiz cúbica em 0:

\(\lim _{x\to 0} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{0}\)

Porém, ao tomar a derivada, perceba:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{0}}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty\)

Função contínua: Lim f(x) = f(a)

                        x→a

A unica coisa que eu sei, hihihi.