Seja g uma função diferenciável tal que g ′(x) é uma função contínua e seja f uma função contínua. Suponha que [a, b] esteja contido no domínio de ...

A fórmula que você mencionou é conhecida como a fórmula de substituição para integrais definidas. Para provar essa fórmula, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Primeiro, vamos considerar a função F(u) = ∫ g(a) u f(t) dt. Pela regra da cadeia, temos que dF(u)/du = f(u) * g'(u). Agora, vamos calcular a derivada de F(g(x)) em relação a x usando a regra da cadeia: d/dx [F(g(x))] = dF(g(x))/du * g'(x) = f(g(x)) * g'(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral de uma derivada é igual à diferença entre os valores da função nos limites de integração. Portanto, temos: ∫ b a f(g(x)) * g'(x) dx = F(g(b)) - F(g(a)). Substituindo F(u) de volta na equação, obtemos: ∫ b a f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ g(a) g(b) f(u) du. Agora, para calcular a integral ∫ π/3 0 tan(x) dx usando essa fórmula, vamos definir g(x) = tan(x). Nesse caso, g'(x) = sec^2(x). Aplicando a fórmula de substituição, temos: ∫ π/3 0 tan(x) dx = ∫ g(0) g(π/3) f(u) du = ∫ 0 tan(π/3) f(u) du. Agora, você precisa substituir u por tan(x) na função f(u) e avaliar a integral no intervalo [0, tan(π/3)] para obter o resultado final. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.