como calcular séries de pagamento

Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatório é deduzido a partir da equação da capitalização composta VF=VP(1+i)ⁿ para o cálculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica limitada, de razão q = 1 + i.

                                                             FV

            R          R          R          R          R

  0         1          2           3       (n-1)         n

Figura 1

Perceba que a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é efetuada hoje.

Situação Problema

Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?

Solução:

R = 500 (valor da parcela mensal)

i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008

n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais

Utilizando a expressão (1):

VF = 500.[(1+ 0,008)²⁴-1] / 0,008 = 13.171,58

Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão:

Situação Problema

Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.

Solução:

n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres

VF = 25.000 (valor futuro)

i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo

Utilizando a expressão (2), temos:

R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035)²⁰ -1]} = 884,03

Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas.

Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação , substituindo o VF da expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo:

VP        R          R          R          R          R

  0         1          2          3        (n-1)        n

Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme

Situação problema

Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.

Solução:

n = 6 (número de parcelas mensais)

R = 200 (valor de cada parcela mensal)

i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo.

VP = 200 . { [(1+ 0,05)⁶ -1] / [0,06.(1+ 0,05)⁶] } = 1.015,14

Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.

Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão:

Situação Problema:

Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.

Solução:

Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;

Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05

n = 4 parcelas mensais

Usando expressão (4) temos:

R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)⁴]/[(1+ 0,05)⁴-1]}=141

SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS

Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos.

Acumulação de Capital

Situação problema:

Qual o montante daqui a 8 meses resultante da aplicação de 8 parcelas mensais de R$100,00, a taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje.

Esquematicamente temos:

100    100    100    100    100    100    100    100    VF (montante)

  0      1       2        3        4        5        6       7       8

Dados:

VF = ?

n = 12

i = 1,5% mês

R = 100 por mês

Solução:

Se usarmos a equação o valor de montante será encontrado no momento da última aplicação, nesse caso, no momento “7”. Como desejamos o montante no momento “8” teremos que capitalizar um período a mais, ou seja, assim teremos o montante no final do oitavo mês.

Conclusão:

Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos utilizar a expressão: 

Valor atual

Situação problema:

Um eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado?

Esquematicamente temos:

 VP (valor financiado)

  0      1       2        3        4        5 Meses

100    100    100    100    100    100 (note que a primeira parcela está sendo paga a vista)

Dados:

VP = ?

n = 6

i = 5% mês

R = 100 por mês

Solução:

Aproveitando o que já sabemos, temos que , como desejamos saber o valor de VP pela fórmula da capitalização composta VF=P(1+i)ⁿ => temos que;

        =>       

Donde: 

Conclusão:

Para calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos utilizar a expressão: 

Perpetuidade

A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc.

O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão (3), com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula.

           (5)

Situação problema

Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m.

Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5) chega-se ao seu valor teórico:

VP= 1.000 / 0,01 = 100.000

http://www2.unemat.br/eugenio/serie_de_pagamentos.html

completo

Séries de pagamnto são séries que exibem o retorno do capital através de pagamentos iguais em intervalos de tempo constantes. É bem ilustrada nas situações de empréstimo ou aquisições de bens.

O fluxo de caixa que caracteriza esse tipo de série está representado na figura abaixo:

O modelo matemático para esse tipo de série é:

Onde,
PMT → é o valor das parcelas ou prestações a serem pagas
PV → é o valor financiado
i → é a taxa de juros
n → é o tempo