Expressando em equações matemáticas o enunciado, temos:

\(\begin{align} \left\vert d_{(x,y)\rightarrow(0,3)}-d_{(x,y)\rightarrow(0,-3)}\right\vert&=5\\ \left\vert \sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}-\sqrt{(x-0)^2+(y+3)^2}\right\vert&=5\\ \left\vert \sqrt{x^2+(y-3)^2}-\sqrt{x^2+(y+3)^2}\right\vert&=5 \end{align}\)

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, temos:

\(\begin{align} \left[x^2+(y-3)^2\right]-2\sqrt{x^2+(y-3)^2}\sqrt{x^2+(y+3)^2}+\left[x^2+(y+3)^2\right]&=5\\ 2x^2+2y^2+18-5&=2\sqrt{x^2+(y-3)^2}\sqrt{x^2+(y+3)^2}\\ 2x^2+2y^2+13&=2\sqrt{x^2+(y-3)^2}\sqrt{x^2+(y+3)^2} \end{align}\)

Elevando ao quadrado novamente, temos:

\(\begin{align} (2x^2+2y^2+13)^2&=4\left[x^2+(y-3)^2\right]\left[x^2+(y+3)^2\right]\\ 4x^4+4y^4+169+8x^2y^2+52x^2+52y^2&=4x^4+4x^2\left[(y-3)^2+(y+3)^2\right]+4(y-3)^2(y+3)^2\\ 4y^4+169+8x^2y^2+52x^2+52y^2&=4x^2(2y^2+18)+4(y^2-9)^2\\ 4y^4+169+8x^2y^2+52x^2+52y^2&=(8x^2y^2+72x^2)+4(y^4-18y^2+81)\\ 4y^4+169+52x^2+52y^2&=72x^2+4y^4-72y^2+324\\ 169+52x^2+52y^2&=72x^2-72y^2+324\\ 124y^2-20x^2&=155\\ \end{align}\)

Temos, portanto, que o lugar geométrico procurdo é uma hipérbole com eixo real em \(y\).