O ponto P (k, 9) pertence ao lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos (2, 3) e (10,3) é �xa e vale 16. Determine o ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a definição de elipse, que é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. No caso, os pontos (2,3) e (10,3) são os focos da elipse, e a soma das distâncias é 16. Podemos então escrever a equação da elipse: 2a = 16 a = 8 O valor de a é metade do eixo maior da elipse. Para encontrar o valor de k, podemos utilizar a equação da elipse na forma padrão: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 O centro da elipse é o ponto médio entre os focos, que é o ponto (6,3). Substituindo os valores conhecidos, temos: (x - 6)²/64 + (y - 3)²/b² = 1 Como o ponto P (k,9) pertence à elipse, podemos substituir x por k e y por 9: (k - 6)²/64 + (9 - 3)²/b² = 1 Simplificando, temos: (k - 6)²/64 + 36/b² = 1 Para encontrar o valor de k, basta substituir as alternativas dadas na equação e verificar qual delas satisfaz a equação: a) k = 12 (12 - 6)²/64 + 36/b² = 1 3/16 + 36/b² = 1 36/b² = 13/16 b² = 576/13 Não é uma solução inteira. b) k = 15 (15 - 6)²/64 + 36/b² = 1 81/64 + 36/b² = 1 36/b² = -17/64 Não é uma solução real. c) k = 14 (14 - 6)²/64 + 36/b² = 1 1/4 + 36/b² = 1 36/b² = 3/4 b² = 48 Essa é uma solução válida. d) k = 13 (13 - 6)²/64 + 36/b² = 1 49/64 + 36/b² = 1 36/b² = 15/64 b² = 96/5 Não é uma solução inteira. e) k = 11 (11 - 6)²/64 + 36/b² = 1 1 + 36/b² = 1 36/b² = 0 Não é uma solução válida. Portanto, a alternativa correta é a letra c) 14.