como fazer uma edo pelo metodo da separaçao das variaveis

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O método de separação de variáveis ​​baseia-se no pressuposto de que uma função da forma,

\(\[u(x,t)=\varphi (x)G(t)\]\)

Uma solução para uma equação diferencial parcial linear homogênea em x e t. Isso é chamado de solução de produto e, desde que as condições de contorno também sejam lineares e homogêneas, isso também satisfará as condições de contorno. Entretanto, isso raramente satisfaz a condição inicial.

Exemplo:

\(\[\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial {}^\text{2}y}{\partial x{}^\text{2}} \\ & u(x,0)=f(x) \\ & u(0,t)=0 \\ & u(L,t)=0 \\ & Como: \\ & u(x,t)=\varphi (x)G(t) \end{align}\] \)

O método de separação de variáveis ​​nos diz para assumir que a solução tomará a forma do produto:

\(\[\begin{align} & \\ & \text{Aplicando na equacao:} \\ & \frac{\partial }{\partial t}\left( \varphi \left( x \right)G\left( t \right) \right)=k\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}\left( \varphi \left( x \right)G\left( t \right) \right) \\ & \varphi \left( x \right)\frac{dG}{dt}=k\,G\left( t \right)\frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}} \\ & \frac{1}{G}\frac{dG}{dt}=k\frac{1}{\varphi }\frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}}\to \frac{1}{kG}\frac{dG}{dt}=\frac{1}{\varphi }\frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}} \end{align}\] \)

Podemos fatorar a derivada fora do tempo e podemos fatorar a saída da derivada espacial. Além disso, observe que, depois de avaliarmos isso, não temos mais uma derivada parcial no problema.

\(\[\begin{align} & Solucionando: \\ & \frac{1}{kG}\frac{dG}{dt}=\frac{1}{\varphi }\frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}}=-\lambda ~~~ \\ & ~\frac{dG}{dt}=-k\lambda G \\ & \frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}}~=-\lambda \varphi ~ \\ & ~u\left( 0,t \right)=\varphi \left( 0 \right)G\left( t \right)=0u\left( L,t \right)=\varphi \left( L \right)G\left( t \right)=0 \\ & \frac{dG}{dt}=-k\lambda G\frac{{{d}^{2}}\varphi }{d{{x}^{2}}}+\lambda \varphi =0 \\ & \varphi \left( 0 \right)=0\varphi \left( L \right)=0 \\ \end{align}\] \)

Não temos uma condição para a equação diferencial de tempo, porém não é um problema.