Medidas de posição

Boa noite, João!

Como não especificou quais medidas de posição e dispersão deseja, calcularei as mais comuns.

Média=Σx/n=(23+21+10+14+16+12+39+45+10+20)/10=210/10=21

Mediana: para calcular, precisamos colocar os dados em rol (ordená-los de forma crescente ou decrescente)

10, 10, 12, 14, 16, 20, 21, 23, 39, 45

Como temos 10 termos, precisamos calcular a posição de dois termos medianos:

n/2 e n/2+1 (metade e próximo)

10/2=5º

10/2+1=6º

São o 16 e o 20. Agora é só tirar a média entre eles:

Mediana=(16+20)/2=18

Obs.: Se tivéssemos uma quantidade ímpar de termos, teríamos somente 1 termo mediano, que seria calculado por (n+1)/2.

Moda: Número que mais vezes se repete na distribuição.

Moda=10

Agora vamos para as medidas de dispersão:

Amplitude Total=Diferença entre o maior e menor valor da distribuição

R=45-10=35

Variância: Var(x)=Σx²/n-(Σx/n)², onde Σx/n é a média.

Vamos calcular primeiro a somatória do quadrado dos elementos dividido por n:

Σx²/n=(23²+21²+10²+14²+16²+12²+39²+45²+10²+20²)/10=5712/10=571,2

Então,

Var(x)=571,2-21²=130,2

Desvio padrão=raiz da variância

σ=√130,2≈11,41052

Temos outra medida de dispersão, desvio médio, um pouco mais difícil de calcular, mas vamos lá também:

DM(x)=Σ|x-(Σx/n)|/n

Desvio médio é a diferença de cada valor da distribuição com a média aritmética

DM(x)=(|23-21|+|21-21|+|10-21|+|14-21|+|16-21|+|12-21|+|39-21|+|45-21|+|10-21|+|20-21|)/10=(2+0+11+7+5+9+18+24+11+1)/10=88/10=8,8

Espero ter ajudado!

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Estatísticas.

As principais medidas de posição são a média, a mediana e a moda.

A média, \(\overline x\), consiste na soma dos valores dividido pelo número de valores:

\(\begin{align} \overline x&=\dfrac{23+21+10+14+16+12+39+45+10+20}{10} \\&=21 \end{align}\)

A mediana, \(\tilde x\), consiste no valor que divide o conjunto de dados ao meio. Sua determinação inicia-se pela ordenação dos dados em ordem crescente. Daí, se o número de dados for ímpar, a mediana será o dado central. Porém, se o número de dadosfor par, a mediana será a média aritmética dos dados centrais. Ordenando em ordem crescente, tem-se que:

\(\text{10, 10, 12, 14, 16, 20, 21, 23, 39, 45 }\)

Assim, resulta que:

\(\begin{align} \tilde x&=\dfrac{16+20}{2} \\&=18 \end{align}\)

Por fim, a moda é o valor que apresenta a maior frequência, sendo neste caso o \(10\), que aparece duas vezes.

No que diz respeito às medidas de dispersão, as principais são a variância, o desvio padrão e a amplitude.

A variância, \(\sigma ^2 \), é definida como a média do quadrado dos desvios dos elementos em relação à média. Assim:

\(\begin{align} \sigma ^2&=\dfrac{(21-10)^2+(21-10)^2+(21-12)^2+(21-14)^2+(21-16)^2+(21-20)^2+(21-21)^2+(21-23)^2+(21-39)^2+(21-45)^2}{10} \\&=130,2 \end{align}\)Por sua vez, o desvio padrão, \(\sigma\), consiste na raiz quadrada da variância, daí:

\(\begin{align} \sigma&=\sqrt{130,20} \\&=11,41 \end{align}\)

Finalmente, a amplitude, \(R\), é a diferença entre o maior e menor valor do conjunto de dados, logo:

\(\begin{align} R&=45-10 \\&=35 \end{align}\)