Use o principio da indução

O primeiro passo consiste em determinar a base da prova por indução. Neste caso, tomaremos como base n = 1. Claramente, do lado esquerdo da equação fica 1 e do lado direito 1(1 + 1) / 2, resolvendo dá 1=1. Então o enunciado é verdadeiro para n = 1.

Agora precisamos provar que o enunciado vale para n = k.

Por hipótese de indução, a equação vale para n = k-1, ou seja:
1 + 2 + ... + (k - 1) = [(k-1)*((k-1)+1)]/2
Somando-se k aos dois lados.
1 + 2 + ... + (k - 1) + k= [(k-1)*(k)]/2 + k
Um pouco de algebrismo:

[(k-1)((k-1) + 1)]/2 + 2k/2 = [k(k-1) + 2k]/2
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1 + 2 + ... + (k - 1) + k = [k(k+1)]/2

Obrigado.