Notações para facilitar. L=lim h=Δx
f(x)=³√x
f'(x)=L ³√(x+h)-³√(x)
OBS: O produto notavel que vai utilizar para tirar essa raiz é (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²) vamos pegar o conjugado (a²+ab+b²) e multiplicar no denominador e numerador.
³√(x+h)-³√(x) . ³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)² = x+h-x = h
f'(x)=L h . 1/h . ³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)² (o h vai cortar com o h, e vai virar 1 o numerador)
f'(x)= L 1/³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)² (agora aplica o limite)
f'(x)= 1/3.³√(x)² (Essa é a derivada, agora só falta substituir o x por 1)
f'(1)=1/3.³√(1)² = 1/3
Miltiplica e divide por (X+H)^(2/3)+(X.(X+H))^(1/3)+(X)^(2/3)... desse modo o númerador irá ficar igual a H e poderá ser cortado com o H do denominador, sobrando somente 1/[(X+H)^(2/3)+(X.(X+H))^(1/3)+(X)^(2/3)]. Agora é só fazer o limite de quando H tende da expressão anterior e ver quanto é a derivada de 1. Espero ter ajudado, quequer duvida só pergutar :)
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