Demonstrar : Se p,q são números racionais,então p+q é um número racional

Se p e q são racionais eu posso dizer que: 

p = a/x 
q = b/y 

p.q = a/x.b/y 

ab/xy 

Se eu pude transforma-lo em fração, ele é racional. Um número irracional não pode ser escrito na forma de fração. Um racional pode

A Carla o fez para p.q, o mesmo vale para p+q:

p+q = a/x + b/y = (ay + bx)/(xy)

Como a soma e o produto dos inteiros ay, bx e xy sempre resulta em outro inteiro, temos que p+q resulta numa fração com inteiros no numerador e denominador e portanto é racional.

\[p=\dfrac{a}{b}\]

\[q=\dfrac{c}{d}\]

Em que \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) são números inteiros, \(b \ne 0\) e \(d \ne 0\)

Assim, a soma de \(p\) e \(q\) resulta em:

\[p+q=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\]

\[p+q=\dfrac{ad+bc}{bd}\]

Como se sabe, o produto entre dois números inteiros é sempre um número inteiro. Donde resulta que o denominador \(bd\) e os termos \(ad\) e \(bc\) são números inteiros.

Além disso, a soma de dois números inteiros é igual a um número inteiro. Assim, se \(ad\) e \(bc\) são números inteiros, logo a soma \(ad+bc\) também é número inteiro.

Com isso conclui-se que:

\[\boxed{p+q=\dfrac{ad+bc}{bd}}\]

Em que \((ad+bc), bd \in \mathbb Z\), e portanto \(p+q\) também é um número racional.