Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk

Para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição, basta derivar, a velocidade é a primeira derivada e a aceleração é a segunda. Nesse caso fica assim:

r'(t) = V(t) = 1 i + 2t j + 2 k

r''(t) = a(t) = 0 i + 2 j + 0 k

Ou seja, o vetor aceleração será: a(t) = 0i + 2j + 0k

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral e Movimento Vertical.

Em especial, é preciso lembrar que a aceleração no tempo (\(a(t)\)) consiste na derivada segunda da função de posição (\(r(t)\)). Visto isso, derivando duas vezes a função dada resulta que:

\(\begin{align} a(t)&=\dfrac{d^2(r(t))}{dt^2 } \\&=\dfrac{d^2((t+1)i+(t^2-1)j+2tk}{dt^2} \\&=\dfrac{d(i+2\cdot tj+tk)}{dt} \\&=2j+k \end{align}\)

Daí, uma vez conhecido o compotamento da aceleração no tempo, basta substituir \(t=1\) na equação anterior:

\(\begin{align} a(t=1)&=2j+k \end{align}\)

Portanto, em \(t=1\) a aceleração da partícula é \(\boxed{2j+k}\).