Tem-se que \(j\) é a idade de Joana, \(m\) é a idade de Marcelo e \(p\) é a idade de Pedro.

Primeira frase:

"A soma das idades de Joana, Marcelo e Pedro é igual a 43."

\(\Longrightarrow j+m+p=43\)

Segunda frase:

"A idade de Pedro adicionada ao dobro da idade de Marcelo é igual ao quíntuplo da idade de Joana adicionada de cinco."

\(\Longrightarrow p+2m=5(j+5)\)

\(\Longrightarrow p+2m=5j+25\)

\(\Longrightarrow -5j+2m+p=25\)

Terceira frase:

"Marcelo tem o dobro da idade de Pedro."

\(\Longrightarrow m=2p\)

\(\Longrightarrow m-2p=0\)

Sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} j+m+p=43 & (I)\\ -5j+2m+p=25 & (II) \\ m-2p=0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Multiplicando a equação \((I)\) por 5, a nova equação \((I)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 5j+5m+5p=215 & (I)\\ -5j+2m+p=25 & (II) \\ m-2p=0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando a operação \((I)+(II)\), a nova equação \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 5j+5m+5p=215 & (I)\\ 7m+6p=240 & (II) \\ m-2p=0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Multiplicando a equação \((III)\) por 7, o novo sistema de equações é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 5j+5m+5p=215 & (I)\\ 7m+6p=240 & (II) \\ 7m-14p=0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando a operação \((II)-(III)\), a nova equação \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 5j+5m+5p=215 & (I)\\ 7m+6p=240 & (II) \\ 20p=240 & (III) \end{matrix} \right.\)

Pela equação \((III)\), a idade \(p\) de Pedro é:

\(\Longrightarrow 20p=240\)

\(\Longrightarrow \underline {p=12 }\)

Substituindo \(p\) na equação \((II)\), a idade \(m\) de Marcelo é:

\(\Longrightarrow 7m+6p=240\)

\(\Longrightarrow 7m+6\cdot 12=240\)

\(\Longrightarrow 7m=168\)

\(\Longrightarrow \underline{ m=24}\)

Substituindo \(p\) e \(m\) na equação \((I)\), a idade \(j\) de Joana é:

\(\Longrightarrow 5j+5m+5p=215\)

\(\Longrightarrow j+m+p=43\)

\(\Longrightarrow j=43-m-p\)

\(\Longrightarrow j=43-24-12\)

\(\Longrightarrow \underline { j=7}\)

Portanto, as idades são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} j=7 \\ m=24 \\ p=12 \end{matrix} \right. $}\)