Perguntas de GA 1

Utilizarei a notação || v || para designar a norma do vertor v e |k| para representar o módulo de um escalar k.

1 - Queremos mostrar que v / ||v|| tem a mesma direção e sentido de v e que              || (v / ||v||) || = 1.

Sabemos que ||v|| é um escalar, logo 1/||v|| também é. Observemos que o vetor v / ||v|| pode ser escrito como: v / ||v|| = (1/||v||) . v

ou seja, um escalar que multiplica o vetor v. Portanto tem a mesma direção de v.

Pelas propriedades de norma: ||v|| > 0, pois v é não nulo. Então 1/||v|| > 0. Como o escalar que multiplica v é maior que zero, v / ||v|| também tem o mesmo sentido. Se fosse menor que zero teríamos sentido contrário.  

Novamente pelas propriedades de norma, temos que:  || k.v || = |k|.||v||. Logo:

|| (v / ||v||) || = | (1/||v||) | . ||v|| = (1/||v||) . ||v|| = 1. Portanto o vetor também é unitário.

Espero que tenha ficado claro.

Devemos provar que V é um vetor unitário e para isso realizaremo os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & ||\text{ }(\mathbf{v}~/\text{ }||\mathbf{v}\left| \left| )\text{ } \right| \right|=1 \\ & \frac{V}{||V||}=\left( \frac{1}{||v||} \right)v \\ & ||v||>0 \\ & ||kv||=||k||\cdot ||v|| \\ & \left| \frac{v}{||v||} \right|=\left| \frac{1}{||v||} \right|\cdot ||v|| \\ & \left| \frac{v}{||v||} \right|=\frac{\cdot ||v|}{||v||} \\ & \left| \frac{v}{||v||} \right|=1 \\ \end{align}\ \)