Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Equações Diferenciais Ordinárias.

Como a taxa de espalhamento do vírus é proporcial ao número de pessoas infectadas (\(p\)) e ao número de pessoas não infectadas (\(100-p\)), podemos escrever a propagação do vírus como:

\(\dfrac{dp}{dt}=kp(100-p)\)

Utilizando o método das variáveis separáveis, resulta que:

\(\dfrac{dP}{p(100-p)}=kdt\)

Integrando, encontra-se que:

\(\ln (p(100-p))=kt+c\)

Aplicando a função exponencial em os lados:

\(\begin{align} e^{\ln (p(100-p))}&=e^{kt+c} \\p(t)(100-p(t))&=c_1e^{kt} \end{align}\)

Isolando \(P(t)\), resulta que:

\(p(t)=\dfrac{100e^{100kt}}{c_1+e^{100kt}}\)

Sabendo que inicialmente (\(t=0\)) há apenas uma pessoa infectada:

\(\begin{align} p(0)&=\dfrac{100\cdot e^{0}}{c_1+e^{0}} \\&=\dfrac{100}{c_1} \\&=1 \end{align}\)

Isolando \(c_1\), encontra-se que \(c_1 =100\) e, dessa forma:

\(p(t)=\dfrac{100e^{100kt}}{100+e^{100kt}}\)

Por fim, valendo-se do fato que após 4 semanas (28 dias) 5 pessoas estão infectadas, obtém-se que:

\(\begin{align} p(4)&=\dfrac{100\cdot e^{400k}}{100+e^{400k}} \\&=5 \end{align}\)

Multiplicando ambos os lados por \(100+e^{400k}\)

\(500+5e^{400k}=100e^{400k}\)

Isolando \(e^{400k}\):

\(e^{400k}=\dfrac{500}{95}\)

Finalmente, aplicando logaritmo natural em ambos os lados, calcula-se o valor de \(k\):

\(\begin{align} k&=\dfrac{\ln \frac{500}{95}}{400} \\&=0,000415 \end{align}\)

Portanto, o número de pessoas infectadas em função do tempo é dada pela equação \(\boxed{p(t)=\dfrac{100\cdot e^{0,415t}}{100+e^{0,415t}}}\) e o gráfico da função está representado abaixo: