como calcular a´rea de uma parabola

Usando integral dupla, aplica esses valores como limites

Precisamos encontrar onde elas se interceptam:

\(y=2x^2\\ y=1\\ 1=2x^2\\ x=\pm\frac{1}{\sqrt 2}\)

Assim, o \(x\) varia entre \(-\frac{1}{\sqrt 2}\) e \(-\frac{1}{\sqrt 2}\) e o y entre \(y=2x²\) e \(y=1\)

Aplicando a integral dupla:

\(\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}\int_{2x^2}^{1}dydx\)

Resolvendo em relação a \(y\):

\(\int_{2x^2}^{1}dydx= 1-2x^2\)

Substituindo:

\(\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}1-2x^2dx\)

Resolvendo:

\(\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}1-2x^2dx= x-2\frac{x^3}{3}\\ [\frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{3}(\frac{1}{\sqrt2})^3]-[-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{3}(\frac{-1}{\sqrt2})^3]\\ \frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{4\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{2}{4\sqrt2}\\ \frac{2}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}\)

Portanto a área é : \(\boxed{\frac{1}{\sqrt2}}\)