Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes.

resposta 0

As funções serão LD se o wronskiano delas for zero. Assim, precisamos tomar as derivadas primeira e segunda de cada função para montar o wroskiano:

\((t)' = 1 \\ (t)'' = 0\)

\((\sin t)' = \cos t \\ (\sin t)'' = -\sin t\)

\((\cos t)' = -\sin t \\ (\cos t)'' = - \cos t\)

Logo, o wronskiano deve ser calculado igual a zero da seguinte forma:

\(\begin{vmatrix} t & \sin t & \cos t\\ 1 & \cos t & - \sin t\\ 0 & -\sin t & -\cos t \end{vmatrix} = 0 \\ -t \cos^2t - t \sin^2 t = 0 \\ -t(\cos^2t + \sin^2t) = 0\)

A expressão dentro do parênteses é a relação fundamental da trigonometria e vale 1 para qualquer ângulo. Logo:

\(\boxed{t = 0}\)