Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento AB

Se M e N dividem AB harmonicamente,

Supondo que M seja interno e N externo ao segmento AB, N à esquerda de M,

AM/MB = AN/NB ∴ AM/(AB - AM) = AN/(AN + AB) ∴ AM(AN + AB) =  AN(AB - AM) ∴ AM AN + AM AB = AN AB - AM AN ∴ AB (AN - AM) = 2 AM AN ∴ 2/AB = (AN - AM)/(AM AN) ∴ 2/AB = 1/AM - 1/AN

Supondo agora que N esteja à direita de M,

AM/MB = AN/NB ∴ AM/(AB - AM) = AN/(AN - AB) ∴ AM(AN - AB) =  AN(AB - AM) ∴ AM AN - AM AB= AN AB - AM AN ∴ AB (AN + AM) = 2 AM AN ∴ 2/AB = (AN + AM)/(AM AN) ∴ 2/AB = 1/AM + 1/AN.

Juntando os dois resultados,

2/AB = 1/AM ± 1/AN.

bastante compreensivel a resposta, melhor até que a ke proff. usou embora um pouco mais longa.