Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento AB. Mostre que:
2 = 1 ± 1
AB AM AN
Respostas
William Pinho
há 12 anos
Se M e N dividem AB harmonicamente,
Supondo que M seja interno e N externo ao segmento AB, N à esquerda de M,
AM/MB = AN/NB ∴ AM/(AB - AM) = AN/(AN + AB) ∴ AM(AN + AB) = AN(AB - AM) ∴ AM AN + AM AB = AN AB - AM AN ∴ AB (AN - AM) = 2 AM AN ∴ 2/AB = (AN - AM)/(AM AN) ∴ 2/AB = 1/AM - 1/AN
Supondo agora que N esteja à direita de M,
AM/MB = AN/NB ∴ AM/(AB - AM) = AN/(AN - AB) ∴ AM(AN - AB) = AN(AB - AM) ∴ AM AN - AM AB= AN AB - AM AN ∴ AB (AN + AM) = 2 AM AN ∴ 2/AB = (AN + AM)/(AM AN) ∴ 2/AB = 1/AM + 1/AN.
Juntando os dois resultados,
2/AB = 1/AM ± 1/AN.
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Ajude estudantes
conceição de maria da silva
há 12 anos
bastante compreensivel a resposta, melhor até que a ke proff. usou embora um pouco mais longa.
Vitor borges
há 6 anos
aaaaaaaaaaaaaaa
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