A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100.

200

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Álgebra Linear, mais especificamente sobre Operações com Matrizes.

Em especial, devemos nos lembrar que na multiplicação de uma matriz por um escalar, cada elemento da matriz é multiplicado pelo escalar em questão.

Por exemplo, dado a \(X=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{array} \right]\). Se multiplicarmos \(X\) pelo escalar \(\lambda=5\), resulta que:

\(\begin{align} 5\cdot X&=\left[ \begin{array}{cc} 5\cdot(-1) & 5\cdot 2 \\ 5\cdot 3 & 5\cdot(-5) \end{array} \right] \\&=\left[ \begin{array}{cc} -5 & 10 \\ 15 & -25 \end{array} \right] \end{align}\)

Assim, a soma dos elementos da matriz \(X\) é:

\(\begin{align} S_X&=(-1)+2+3+(-5) \\&=-1 \end{align}\)

Por sua vez, a soma dos elementos da matriz \(5\cdot X\):

\(\begin{align} S_{5\cdot X}&=(-5)+10+15+(-25) \\&=-5 \end{align}\)

Logo, a soma dos elementos da matriz \(5\cdot X\) é igual ao produto entre o escalar \(\lambda=5\) e a matriz \(X\).

Visto isso, no presente problema, como a soma dos elementos da matriz \(A\) é \(s_A=100\), então a soma dos elementos da matriz \(2A\) será:

\(\begin{align} s_{2\cdot A}&=2\cdot s_{A} \\&=2\cdot 100 \\&=200 \end{align}\)

Portanto, a soma de todos os elementos da matriz \(2A\) é igual a \(\boxed{200}\).