Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ?

Cálculo II

•

ESTÁCIO

Tiago Aguiar

18/05/2018

💡 5 Respostas

Bruno Fassanaro

10.12.2018

-2x , -1

Andre Smaira

12.02.2019

Nesse exercício vamos estudar o gradiente de uma função.

O gradiente nada mais é que um vetor em que cada componente é a derivada da função em relação a cada uma das variáveis:

\nabla f = (f_{x}, f_{y}) = (- 2 x, - 1)

$abla f=(f_x,f_y)=(-2x,-1) <p> </p> <hr /> <p>Portanto:</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>boxed</mi><mrow><mo>∇</mo><mi>f</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>boxed</mi><mrow><mo>∇</mo><mi>f</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">oxed{ abla f=(-2x,-1)} <p> </p> </section><div class="AnswerCard_interactions-buttons__9BV0B"><div class="Interactions_card-cta-buttons__l2G_S" data-testid="pd-interaction-buttons"><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" data-testid="like-icon" class="LikeIcon_pd-like-icon__ZdUij"><title>Like</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M22.9 10.3a3.5 3.5 0 0 0-3.5-2.8h-1.2l-.6-.3c-.1-.2-.2-.4-.1-.6v-.7c0-.8-.3-1.6-.9-2.2l-1-1.3c-.4-.3-.8-.4-1.2-.4-.4 0-.8.1-1 .4L8.1 7.8l-.3.3c-.5-.4-1.2-.7-2-.7h-.3C3.5 7.4 2 9 2 11v6.6c0 2 1.6 3.6 3.5 3.6h.4c1 0 2-.5 2.6-1.3.9.8 2 1.3 3.2 1.3h5.6c1.4 0 2.6-.9 3.2-2.2l2.2-5.2c.5-1 .3-3.1.2-3.5Zm-7.6-1.1.8.5.3.1h3c.6 0 1.1.5 1.2 1V13l-2.3 5.2c-.2.5-.6.8-1 .8h-5.6c-1.3 0-2.3-1-2.3-2.3v-6.3c0-.4.2-.7.4-.9l4-4.1.6-.2c.2 0 .4 0 .5.2l.3.5v.3L15 8.3l.3.9Zm-8.2 8.2v-6.3c0-.7-.6-1.3-1.3-1.3h-.2c-.7 0-1.4.6-1.4 1.4v6.2c0 .8.7 1.4 1.4 1.4h.2c.7 0 1.3-.6 1.3-1.4Z"></path></svg><span>0</span></div><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" class="DislikeIcon_pd-dislike-icon__Kk3M8"><title>Dislike</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M1.1 13.7a3.5 3.5 0 0 0 3.5 2.8h1.2l.6.3c.1.2.2.4.1.6v.7c0 .8.3 1.6.9 2.2l1 1.3c.4.3.8.4 1.2.4.4 0 .8-.1 1-.4l5.3-5.4.3-.3c.5.4 1.2.7 2 .7h.3c2 0 3.5-1.6 3.5-3.6V6.4c0-2-1.6-3.6-3.5-3.6h-.4c-1 0-2 .5-2.6 1.3-.9-.8-2-1.3-3.2-1.3H6.7c-1.4 0-2.6.9-3.2 2.2l-2.2 5.2c-.5 1-.3 3.1-.2 3.5Zm7.6 1.1-.8-.5a1 1 0 0 0-.3-.1h-3c-.6 0-1.1-.5-1.2-1V11l2.3-5.2c.2-.5.6-.8 1-.8h5.6c1.3 0 2.3 1 2.3 2.3v6.3c0 .4-.2.7-.4.9l-4 4.1-.6.2c-.2 0-.4 0-.5-.2a1 1 0 0 1-.3-.5v-.3l.2-2.2-.3-.9Zm8.2-8.2v6.3c0 .7.6 1.3 1.3 1.3h.2c.7 0 1.4-.6 1.4-1.4V6.6c0-.8-.7-1.4-1.4-1.4h-.2c-.7 0-1.3.6-1.3 1.4Z"></path></svg><span>0</span></div></div></div></div></div><div data-testid="answer-card" class="AnswerCard_answer-card__wbYdJ Answer_answer__wWd_9"><div class="AnswerCard_unclickable-cover-answer-card__kO4BU"></div><section class="AnswerCard_answer-info__nNL6A"><a href="/perfil/762543-andre-smaira" class="UserBadge_user-badge__BEeKk AnswerCard_answer-user-image___yntN"><div class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://resources.passeidireto.com/core/student_profile_images/profile-default.gif" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="46" height="46" loading="eager"/></div><section class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 AnswerCard_answer-user-name__DSviW pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-3071254488">Andre Smaira</span> </p><p class="jsx-3071254488 pd-caption"><time data-testid="time-element" dateTime="2019-02-19T12:38:56.000Z">19.02.2019</time></p></section></a></section><div class="AnswerCard_answer-content-container__c5XUg"><section class="AnswerCard_answer-content__beWHC pd-paragraph-md"><p><span style="font-size:12pt">Nesse exercício vamos estudar o gradiente de uma função.</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">O gradiente nada mais é que um vetor em que cada componente é a derivada da função em relação a cada uma das variáveis:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$\nabla f=(f_x,f_y)=(-2x,-1)$$</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Portanto:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$\boxed{\nabla f=(-2x,-1)}$$</span></p></section><div class="AnswerCard_interactions-buttons__9BV0B"><div class="Interactions_card-cta-buttons__l2G_S" data-testid="pd-interaction-buttons"><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" data-testid="like-icon" class="LikeIcon_pd-like-icon__ZdUij"><title>Like</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M22.9 10.3a3.5 3.5 0 0 0-3.5-2.8h-1.2l-.6-.3c-.1-.2-.2-.4-.1-.6v-.7c0-.8-.3-1.6-.9-2.2l-1-1.3c-.4-.3-.8-.4-1.2-.4-.4 0-.8.1-1 .4L8.1 7.8l-.3.3c-.5-.4-1.2-.7-2-.7h-.3C3.5 7.4 2 9 2 11v6.6c0 2 1.6 3.6 3.5 3.6h.4c1 0 2-.5 2.6-1.3.9.8 2 1.3 3.2 1.3h5.6c1.4 0 2.6-.9 3.2-2.2l2.2-5.2c.5-1 .3-3.1.2-3.5Zm-7.6-1.1.8.5.3.1h3c.6 0 1.1.5 1.2 1V13l-2.3 5.2c-.2.5-.6.8-1 .8h-5.6c-1.3 0-2.3-1-2.3-2.3v-6.3c0-.4.2-.7.4-.9l4-4.1.6-.2c.2 0 .4 0 .5.2l.3.5v.3L15 8.3l.3.9Zm-8.2 8.2v-6.3c0-.7-.6-1.3-1.3-1.3h-.2c-.7 0-1.4.6-1.4 1.4v6.2c0 .8.7 1.4 1.4 1.4h.2c.7 0 1.3-.6 1.3-1.4Z"></path></svg><span>0</span></div><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" class="DislikeIcon_pd-dislike-icon__Kk3M8"><title>Dislike</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M1.1 13.7a3.5 3.5 0 0 0 3.5 2.8h1.2l.6.3c.1.2.2.4.1.6v.7c0 .8.3 1.6.9 2.2l1 1.3c.4.3.8.4 1.2.4.4 0 .8-.1 1-.4l5.3-5.4.3-.3c.5.4 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height="24"/></span></span></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/bold-opt.svg" alt="Negrito" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/italic-opt.svg" alt="Itálico" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/underline-opt.svg" alt="Sublinhado" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/strike-opt.svg" alt="Tachado" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/quote-opt.svg" alt="Citação" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/code-opt.svg" alt="Código" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img 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src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/color-picker-opt.svg" alt="Cor da fonte" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/color-background-opt.svg" alt="Cor de fundo" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/align-opt.svg" alt="Alinhamento" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/clean-opt.svg" alt="Limpar" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__c8tCl"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/hyperlink-opt.svg" alt="Inserir link" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/image-opt.svg" alt="Imagem" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/formula-opt.svg" alt="Fórmula" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span></div><div data-testid="editor" class="quill-editor FakeEditor_text-area__q6oU0"><p>Para escrever sua resposta aqui, <span class="">entre ou crie uma conta</span></p></div><div data-testid="register-buttons" class="FakeEditor_action__ur2Pu"><div class="UserBadge_user-badge__BEeKk"><div class="jsx-3149952536 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/default/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="33" height="33" loading="lazy"/></div></div><button class="BaseButton_pd-base-button__Wqf7L BaseButton_secondary__oSbto BaseButton_disabled__PaP2K" disabled=""><div class="BaseButton_button-content__1xyG_">Enviar uma resposta</div></button></div></div></div></div><section 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O comprimento do b...</a></li></ul><div class="RecommendationWidget_blurred__bFG3a"><button data-open="false" class="RecommendationWidget_recommendation-widget-button___8JJ5 CollapsibleButton_collapsible-button__UYcct">Mostrar mais<svg width="10" height="6" viewBox="0 0 10 6"><title>chevronDownIcon</title><path d="M8.4425 0.442505L5 3.8775L1.5575 0.442505L0.5 1.5L5 6L9.5 1.5L8.4425 0.442505Z"></path></svg></button></div></div></section><footer class="NewFooter_footer-container__o19O4 Viewer_viewer-internal-footer__exO7L"><div class="NewFooter_footer-wrapper__a02_c"><div class="NewFooter_footer-logos__0gBO7"><svg width="166" height="30" viewBox="0 -1 166 29" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" class="NewFooter_pd-logo__eQpKC"><title>Logo Passei Direto</title><path data-testid="svg-path-test" fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M39.3047 24.918H40.7912L40.7977 19.6191C41.0564 19.8357 41.4746 20.0581 42.0481 20.299C42.6993 20.5478 43.3869 20.6686 44.078 20.6557C44.8631 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class="UserBadge_user-badge__BEeKk MaterialRecommendation_material-owner__Ss8I_"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/48996257/picture/99700c58-3c9d-46fe-975f-3730cc048208/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="lazy"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Juh Camargo</span> </p></section></a></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation__Avk3R RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><div class="RecommendationThumbnail_material-thumbnail__CZkQ7"><img 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class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><a href="/arquivo/110141241/questao-resolvida-a-taxa-de-variacao-da-funcao-f-x-y-z-ln-x-2-y-3-z-no-ponto-1-2" class="pd-heading-sm MaterialRecommendation_material-recommendation-title___wxWy pd-smooth-transition">Questão resolvida - A taxa de variação da função f(x,y,z)ln(x2y3z), no ponto (-1,2,4), na direção do vetor - Cálculo I - UNIPAC</a><p class="pd-caption">UNIPAC</p><a href="/perfil/823404-tiago-pimenta" class="UserBadge_user-badge__BEeKk MaterialRecommendation_material-owner__Ss8I_"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/37423246/picture/a3551ce2-dd97-415e-9e5d-88059ff616d7/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="lazy"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Tiago Pimenta</span> </p></section></a></div></div></div></div></div></div><div data-testid="content-item" class="Layout_content-item__Z5B0l"><section class="RecommendationWidget_recommendation-widget-container__BC9zQ QuestionPageContent_external-widget__NQqdJ"><div class="RecommendationWidget_recommendation-widget-title-container__lmIU8"><img src="/nextjs/1.229.211/_next/static/images/library-books-opt.svg" alt="" width="20" height="20"/><h2 class="RecommendationWidget_recommendation-widget-title__k4yYT">Outros materiais</h2></div><div class="RecommendationWidget_recommendation-widget-list-container__vh1n1"><ul class="RecommendationWidget_recommendation-widget-list__RtMzA RecommendationWidget_recommendation-widget-list__collapsed__nmEQS"><li class="RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/139894186/inteligencia-artificial-na-medicina">Inteligência Artificial na 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href="/pergunta/139868114/use-o-grafico-de-f-para-dizer-o-valor-de-cada-quantidade-se-ela-existir-i-limh→-">Use o gráfico de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. I. limh→2−f(x) II. limh→2+f(x) III. limh→2f(x) IV. f(2) V. ...</a></li><li class="RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/139867496/limite-e-o-valor-ao-qual-uma-funcao-se-aproxima-a-medida-que-a-varialvel-se-apro">limite é o valor ao qual uma função se aproxima a medida que a varialvel se aproxima de um determinado ponto. qual é o limite d função f(x0 =</a></li><li class="RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/139867203/obre-a-aquisicao-da-propriedade-ela-pode-ser-registrada-e-nao-registrada-origina">obre a aquisição da propriedade, ela pode ser: Registrada e não registrada. Originária e derivada. Derivada e necessária. 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O comprimento do b...</a></li></ul><div class="RecommendationWidget_blurred__bFG3a"><button data-open="false" class="RecommendationWidget_recommendation-widget-button___8JJ5 CollapsibleButton_collapsible-button__UYcct">Mostrar mais<svg width="10" height="6" viewBox="0 0 10 6"><title>chevronDownIcon</title><path d="M8.4425 0.442505L5 3.8775L1.5575 0.442505L0.5 1.5L5 6L9.5 1.5L8.4425 0.442505Z"></path></svg></button></div></div></section></div></div><footer class="NewFooter_footer-container__o19O4 QuestionPageContent_question-footer-outside__p3_YE "><div class="NewFooter_footer-wrapper__a02_c"><div class="NewFooter_footer-logos__0gBO7"><svg width="166" height="30" viewBox="0 -1 166 29" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" class="NewFooter_pd-logo__eQpKC"><title>Logo Passei Direto</title><path data-testid="svg-path-test" fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M39.3047 24.918H40.7912L40.7977 19.6191C41.0564 19.8357 41.4746 20.0581 42.0481 20.299C42.6993 20.5478 43.3869 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Durante as aulas, os alunos aprendem sobre funções, limites, derivadas e integrais, além de suas aplicações em problemas do mundo real. A disciplina é fundamental para estudantes de áreas como Engenharia, Física e Matemática, que precisam de uma base sólida em cálculo para avançar em suas carreiras. O conhecimento em Cálculo I é importante para entender conceitos mais avançados em matemática e ciências, além de ser útil em diversas áreas profissionais que envolvem análise quantitativa.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"Use o gráfico de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. I. limh→2−f(x) II. limh→2+f(x) III. limh→2f(x) IV. f(2) V. limh→4f(x) VI. f(4) A alternativa que responde corretamente cada um dos itens acima é: I. limh→2−f(x)=3 II. limh→2+f(x)=1 III. limh→2f(x) : não existe, pois os limites laterais são diferentes IV. f(2)=3 V. limh→4f(x)=4 VI. f(4) : não existe, pois a função não tem esse ponto na imagem. 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I. f(x)={x2 se x≤12 se x\u003e1 II. f(x)={x+1 se x≤11−x se x\u003e1 Agora julgue (V ou F) os itens abaixo: As funções são contínuas em todos pontos reais No item I , a função é contínua em todos pontos reais No item I , a função é contínua apenas nos pontos 2–√ e −2–√ No item I , a função é contínua apenas no ponto 2–√ No item I , a função é contínua apenas no ponto −2–√ No item II , a função é contínua no ponto 1 No item II , a função é descontínua no ponto 1 QUESTÃO 3 DE 4 Marque a alternativa que apresenta corretamente o gráfico de f(x)=4x2−12x−1 e o resultado de limx→124x2−12x−1 limx→124x2−12x−1=1 Gráfico de f(x) : limx→124x2−12x−1=−1 Gráfico de f(x) : limx→124x2−12x−1=0 Gráfico de f(x) : limx→124x2−12x−1=0 Gráfico de f(x) : limx→124x2−12x−1=2 Gráfico de f(x) : QUESTÃO 4 DE 4 Para a função g cujo gráfico é mostrado","AnswersCount":1,"PremiumAnswerId":null,"ModerationType":0},"MainSubject":{"Id":669699,"Name":"Cálculo I","Alias":"calculo-i","LanguageId":1,"FollowerCount":2260295,"MaterialCount":182790,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/calculo-i_20170201192234.png","Summary":"Cálculo I é uma disciplina introdutória ao cálculo diferencial e integral. 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Durante as aulas, os alunos aprendem sobre funções, limites, derivadas e integrais, além de suas aplicações em problemas do mundo real. A disciplina é fundamental para estudantes de áreas como Engenharia, Física e Matemática, que precisam de uma base sólida em cálculo para avançar em suas carreiras. O conhecimento em Cálculo I é importante para entender conceitos mais avançados em matemática e ciências, além de ser útil em diversas áreas profissionais que envolvem análise quantitativa.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"Algumas funções exigem manipulações matemáticas para ser possível calcular o limite. 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