Questão resolvida - A taxa de variação da função f(x,y,z)ln(x2y3z), no ponto (-1,2,4), na direção do vetor - Cálculo I - UNIPAC

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• A taxa de variação da função , no ponto , na f x, y, z = ln x + 2y + 3z( ) 2 2 2 -1, 2, 4( )
direção do vetor é exatamente:= - - -v
2
13
i
4
13
j
12
13
k
A) 
247
614
 
B) 
-341
614
É provável que haja algum erro nesses resultados!
 
C) -314
 
D) -
308
741
 
E) 
214
741
 
Resolução:
 
A derivada direcional é dada por:
 
D f x, y, z = ⋅ u + ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:u1 u2 u3 u v u
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅u
-
2
13
- + - + -
2
13
2
4
13
2
12
13
2
i
-
4
13
- + - + -
2
13
2
4
13
2
12
13
2
j
-
12
13
- + - + -
2
13
2
4
13
2
12
13
2
k
 
= - - -u
1
13
2
+ +
4
13( )2
16
13( )2
144
13( )2
i
1
13
4
+ +
4
13( )2
16
13( )2
144
13( )2
j
1
13
12
+ +
4
13( )2
16
13( )2
144
13( )2
k
 
= - - -u
1
13
2
4 + 16 + 144
13( )2
i
1
13
4
4 + 16 + 144
13( )2
j
1
13
12
4 + 16 + 144
13( )2
k
 
 
 
= - - - = - - -u
1
13
2
164
13( )2
i
1
13
4
164
13( )2
j
1
13
12
164
13( )2
k
1
13
2
4 ⋅ 41
13( )2
i
1
13
4
4 ⋅ 41
13( )2
j
1
13
12
4 ⋅ 41
13( )2
k
 
= - - - = - - -u
1
13
2
⋅
13
4 41
i
1
13
4
⋅
13
4 41
j
1
13
12
⋅
13
4 41
k
1
13
13
2 41
2
1
i
1
13
13
2 41
4
1
j
1
13
13
2 41
12
1
k
 
= - - - = - ⋅ - ⋅ - ⋅u
1
41
i
2
41
j
6
41
k
1
41
41
41
i
2
41
41
41
j
6
41
41
41
k
 
= - - - = - - -u
41
41
2
i
2 41
41
2
j
6 41
41
2
k→ u
41
41
i
2
41
41
j
6
41
41
k
 
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a , e , após, substituimos o ponto x y z
;-1, 2, 4( )
f x, y, z = ln x + 2y + 3z = ⋅ 2x =( ) 2 2 2 →
𝜕f
𝜕x
1
x + 2y + 3z2 2 2
→
𝜕f
𝜕x
2x
x + 2y + 3z2 2 2
= ⋅ 2 ⋅ 2y =
𝜕f
𝜕y
1
x + 2y + 3z2 2 2
→
𝜕f
𝜕y
4y
x + 2y + 3z2 2 2
 
 = ⋅ 2 ⋅ 3z =
𝜕f
𝜕z
1
x + 2y + 3z2 2 2
→
𝜕f
𝜕z
6z
x + 2y + 3z2 2 2
 
-1, 2, 4 = = = = -
𝜕f
𝜕x
( )
2 ⋅ -1
-1 + 2 2 + 3 4
( )
( )2 ( )2 ( )2
-2
1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 16
-2
1 + 8 + 48
2
57
 
-1, 2, 4 = = = =
𝜕f
𝜕y
( )
4 ⋅ 2
-1 + 2 2 + 3 4
( )
( )2 ( )2 ( )2
8
1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 16
8
1 + 8 + 48
8
57
 
-1, 2, 4 = = = = =
𝜕f
𝜕z
( )
6 ⋅ 4
-1 + 2 2 + 3 4
( )
( )2 ( )2 ( )2
24
1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 16
24
1 + 8 + 48
24
57
8
19
 
A derivada direcional de na direção do vetor em é;f v -1, 2, 4( )
D f -1, 2, 4 = - ⋅ - + ⋅ - + ⋅ -u ( )
2
57 41
41 8
57
2
41
41 24
57
6
41
41
D f -1, 2, 4 = - - =u ( )
2
57 41
16
57 41
144
57 41
2- 16- 144
57 41
 
 
 
D f -1, 2, 4 ≅u ( )
-158
57 41
 
 
(Resposta)