Encontrar uma primitiva F , da função f(x)=x^2/3+x, que satisfaça F(1)=1.

A primitiva de f(x) é a integral de f(x).dx:

integral ( x²/3+x ).dx = podemos reescrever como integral (x-3 + 9/x+3).dx ==> integral x.dx - 3*integral dx + 9*integral( 1/x+3)dx

= x²/2 - 3x + 9ln(x+3) + C

Como a questão pede F(1) = 1, fazemos x = 1, y = 1 para encontrar o valor da constante:

1 = (1)²/2 - 3(1) + 9ln(1+3) + C  <==> 1 = 1/2 - 3 + 9ln(4) + C  <==> (-1/2 + 3)/9ln4 = C -> a conta é com você.

Qualquer dúvida, joga no Wolfram Alpha.com

Seja

\(f(x)=\frac{x^2}{3+x}\)

Integrando:

\(\int\frac{x^2}{3+x}dx\)

vamos fazer a substituição \(u=3+x\)

Assim, \(du=dx\) e \(x=u-3\)

\(\int\frac{x^2}{3+x}dx=\int\frac{(u-3)^2}{u}du\)

Desenvolvendo:

\(\int\frac{(u-3)^2}{u}du=\int\frac{(u^2-6u+9)}{u}du=\int\ u-6+\frac{9}{u}du\)

Integrando separadamente:

\(\int\ u-6+\frac{9}{u}du=\frac{u^2}{2}+6u+lnu+C\)

Voltando para a variável original:

\(\frac{u^2}{2}+6u+lnu+C=\frac{(x+3)^2}{2}+6(x+3)+ln(x+3)+C\)

Para \(F(1)=1\):

\(\frac{(1+3)^2}{2}+6(1+3)+ln(1+3)+C=1\\ 8+24+ln(4)+C=1\\ C=-32-ln(4)\)

Substituindo:

\(\boxed{F(x)=\frac{(x+3)^2}{2}+6(x+3)+ln(x+3)-32-ln(4)}\)