Mostre que se v é qualquer vetor não-nulo , então 1/||v||.v é um vetor unitário ?

Usando v = (x, y, z) -> vetor qualquer e u = (1/ ||v||).v

u = [1/√(x² + y² + z²)]. (x, y, z)
u = [x/√(x² + y² + z²), y/√(x² + y² + z²), z/√(x² + y² + z²)]

Para ser um vetor unitário a norma do vetor tem que ser 1, portanto,
||u|| = √{[x/√(x² + y² + z²)]² + [y/√(x² + y² + z²)]² + [z/√(x² + y² + z²)]²}
||u|| = x²/(x² + y² + z²) + y²/(x² + y² + z²) + z²/(x² + y² + z²)
||u|| = (x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)
||u|| = 1

Logo, (1/ ||v||).v é um vetor unitário.

Um vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários:

i = (1,0)

j = (0,1)

Para que u tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir v pelo seu módulo:

Portanto:

\(\[\begin{align} & \left| \left| u \right| \right|\text{ }=\text{ }\surd \left\{ \left[ \frac{x}{\sqrt{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)}}/ \right]{}^\text{2}\text{ }+\text{ }\left[ \frac{y}{\sqrt{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)}}/ \right]{}^\text{2}\text{ }+\text{ }\left[ \frac{z}{\sqrt{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)}}/ \right]{}^\text{2} \right\} \\ & \left| \left| u \right| \right|\text{ }=~\frac{x{}^\text{2}}{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)}+\text{ }\frac{y{}^\text{2}}{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)}\text{ }+\text{ }\frac{z{}^\text{2}}{\left( x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+\text{ }z{}^\text{2} \right)} \\ & \left| \left| u \right| \right|\text{ }=\text{ }\frac{\left( x{}^\text{2}+y{}^\text{2}+z{}^\text{2} \right)}{\left( x{}^\text{2}+y{}^\text{2}+z{}^\text{2} \right)} \\ & \left| \left| u \right| \right|\text{ }=\text{ }1 \\ \end{align}\] \)

Os cálculos acima confirmam a afirmação.