Como calculo a derivada de 2e^2x por definição?

A definição de derivada é:

\(f'(x)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\)

Vamos calcular f(x+h)

\(f(x)=2e^{2x}\\ f(x+h)=2e^{2(x+h)}\\ f(x+h)=2e^{2x}.e^{2h}\\\)

Assim:

\(f'(x)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\ lim_{h\rightarrow 0}\frac{2e^{2x}.e^{2h}-2e^{2x}}h=lim_{h\rightarrow 0}\frac{2e^{2x}.(e^{2h}-1)}h\)

Como o limite está em h, x é uma constante e podemos retirá-la do limite:

\(lim_{h\rightarrow 0}\frac{2e^{2x}.(e^{2h}-1)}h=2e^{2x}lim_{h\rightarrow 0}\frac{(e^{2h}-1)}h\)

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0 , podemos aplicar L'hospital:

\(2e^{2x}lim_{h\rightarrow 0}\frac{(e^{2h}-1)}h=2e^{2x}lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2e^{2h})}1\\\\ 2e^{2x}lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2e^{2h})}1=2e^{2x}lim_{h\rightarrow 0}2e^{2h}=2e^{2x}\cdot \:2e^{2\cdot \:0}\\ =\boxed{4e^{2x} }\)