Dada a funçãoo f(x) = ex. Aproxime esta função por uma função do tipo h(x) = a0 + a1x no intervalo [−1, 1]. A solução é dada por:

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo, mais especificamente sobre os Polinômios de Taylor.

Dada uma função \(f(x)\) derivável até a ordem \(n\), o Polinômio de Taylor de ordem \(n\) de \(f(x)\) , \(P_n(x)\), ao redor do ponto \(x_0\) está expresso abaixo:

\(P_n(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}\cdot(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}\cdot(x-x_0)^2+\ldots+\dfrac{f^{n}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n\)

Para o problema em questão, tem-se \(f(x)=e^x\). Desenvolvendo o Polinômio de Taylor ao redor de um ponto no centro do intervalo \([-1,1]\), isto é, no ponto \(x_0=0\), para os dois primeiros termos, resulta que:

\(\begin{align} P_n(x)&=e^{x_0}+\dfrac{e^{x_0}}{1!}\cdot(x-x_0) \\&=e^0+\dfrac{e^0}{1}\cdot(x-0) \\&=1+\dfrac{1}{1}\cdot x \\&=1+x \end{align}\)

Portanto, o Polinômio de Taylor da função \(f(x)=e^x\) ao redor de um ponto \(x_0=0\) é \(\boxed{\begin{align} P_n(x)&=1+x \end{align}}\).