b) 1 + 3 + .... + (2n − 1) = n².
1 + 3 + ... + (2n - 1) = n²
Demonstração por indução:
Para n = 1 teremos:
1 = 1 , oque é verdade.
Supomos então por hipótese que seja válido para n = k, assim:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k²
Basta provar que é válido para (k + 1), veja:
1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)²
1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1)
Portanto: 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n² .
Para n = 1 , temos
(2*1 – 1 ) = 1 = 1² ; Logo, é verdadeira.
Suponha que para k seja verdadeira:
1 + 3 + ... + (2k -1 ) = k²
Queremos provar que para k+1 também é verdadeira.
Ou seja,
1 + 3 + ... + (2k +1) = (k+1)²
Sabemos que
1 + 3 + ... + (2k -1 ) = k²
Daí,
1 + 3 + ... + (2k -1 ) + (2k+1) = k² + (2k + 1)
= k² + 2k + 1
= (k+1)²
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