Alguém pode me ajudar?

Question

As vezes os sociólogos usam a expressão &ldquo;difusão social&rdquo; para descrever o modo como a informação se dissemina entre uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural ou uma notícia qualquer. Em uma população suficientemente grande, o numero de pessoas x que tem a informação é tratada como uma derivada do tempo t e a taxa  de difusão dx/dt é considerada proporcional ao numero de pessoas que tem a informação multiplicada pelo número de pessoas que não a têm. Isso nos fornece uma equação diferencial de 1&ordm; ordem dx/dt = kx(N-x), onde N é a população total e k a constante de proporcionalidade.
Usando as ferramenta matemática (técnica de Integração) para responder a seguinte pergunta. Se duas pessoas dêem inicio a um boato no momento t = 0 ( t medido em dias ) em uma população N ( N= 1000 ) pessoas por exemplo. Quando a metade da população terá ouvido o boato? Como veremos em seguida o problema é de fácil solução e tem como principal objetivo, mostrar aos alunos dos cursos de engenharia, a importância dessas ferramenta matemáticas na suas vidas profissional.
COMO      RESOLVER O      PROBLEMA
Vamos considerar         N = população total e faremos    N =1000 pessoas
                                     k = 1/250 constante de proporcionalidade
                                     se duas pessoas da inicio ao boato, então x = 2  quando t=0
1&ordm; passo--    Resolver a equação dx/dt = kx(N &ndash; x ) separando as variáveis, depois integre usando técnica de integração 1&ordm; caso a ( frações parciais ).
2&ordm; passo -  A solução da equação acima é dada em função da constante C. Para calcular o valor de C faça x=2 e t=0.
3&ordm; passo  A solução depois de encontrar C é em função do logaritmo natural . Use algumas propriedades  e substitua N = 1000 e x= 500 ( pois é a metade da população ) para encontrar o valor de t.;

RD Resoluções · Answer

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Diferencial e Integral, mais precisamente sobre Equações Diferenciais.

Primeiramente, substituímos $N=1000$ e $k=\dfrac{1}{250}$ na equação $\dfrac{dx}{dt}=kx(N-x)$, resulta que:

$\begin{align}
\dfrac{dx}{dt}&=\dfrac{1}{250}x(1000-x)
\&=\dfrac{1}{250}(-x^2+1000x)
\end{align}
$

Reordenando os termos, pode-se escrever que:

$\dfrac{dx}{-x^2+1000x}=\dfrac{1}{250}dt$

Integrando em ambos os lados, resulta que:

$\dfrac{\ln(x)-\ln(1000-x)}{1000}=\dfrac{1}{250}t+c$,

em que $c$ é uma constante que pertence aos reais.

Multiplicando ambos os lados por $250$, vem que:

$\dfrac{\ln(x)-\ln(1000-x)}{4}=t+c$

Isolando a variável $x$ por meio do operador exponencial, tem-se que:

$x(t)=\dfrac{1000e^{4t}}{c+e^{4t}}$.

Sabendo que $x(t=0)=2$, obtém-se o valor da constante $c$:

$\begin{align}
x(t=0)&=\dfrac{1000e^{4\cdot 0}}{c+e^{4\cdot 0}}
\&=\dfrac{1000\cdot e^0}{c+e^0}
\&=\dfrac{1000\cdot 1}{c+1}
\&=\dfrac{1000}{c+1}
\&=2
\end{align}$

Isolando $c$, vem que:

$\begin{align}
c&=\dfrac{1000-2}{2}
\&=\dfrac{998}{2}
\&=499
\end{align}$

Logo: $x(t)=\dfrac{1000e^{4t}}{499+e^{4t}}$

Por fim, queremos determinar para qual valor de $t$, $x(t)=500$. Promovendo tal igualdade e aplicanddo o operador logaritmo natural em ambos os lados, resulta que:

$\begin{align}
t&=\dfrac{\ln(499)}{4}
\&=1,55
\end{align}$

Portanto, metade da população terá ouvido o boato após $\boxed{1,55\text{ dias}}$.

Alguém pode me ajudar?

Cálculo II

USP-SP

💡 1 Resposta

✏️ Responder

Outros materiais

Perguntas relacionadas

Alguém pode me ajudar nessa questão? Não sei nem como começar.

alguém pode me ajudar com essa equação?

Materiais relacionados

Outros materiais