Qual a equação do plano que contém os pontos A(2,1,0), B(-4,-2,-1) e C(0,0,1) ?

Para montar a equação geral de um plano precisamos de um vetor normal a ele e de um ponto. O ponto já temos, então precisamos encontrar o vetor normal.

O vetor normal ao plano é perpendicular a todos os vetores desse plano. E como queremos que os pontos A, B e C pertençam ao plano, então os vetores BA e BC também estarao no plano. Assim, o vetor resultante do produto vetorial de BA e BC será o vetor normal procurado.

 Como A(2,1,0), B(-4,-2,-1) e C(0,0,1), entao:

BA= A - B = (6,3,1) e BC = C - B = (4,2,2)

n = BAxBC = (4, -8,0)

Assim, a equação do plano é: (considerei o ponto A(2,1,0))

4(x-2) -8(y-1) + 0z =0

4x - 8 - 8y + 8 = 0

4x - 8y = 0

x - 2y = 0

Um exercício resolvido bem parecido que o que você propos, vai ajudar: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080524181535AAw6cmc

Sabemos que a equação do plano é:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

Onde (A,B,C) é um vetor perpendicular ao plano dado.

Os vetores AB e AC pertencem ao plano dado. Precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao plano desejado. Isso pode ser feito por produto vetorial . 

Vamos encontrar os vetores AB e AC

\(AB= (-4,-2,-1)-(2,1,0)\\ AB=(-6,-3,-1)\)

\(AC= (0,0,1)-(2,1,0)\\ AC= ( -2, -1, 1)\)

Fazendo o produto vetorial:

\(ABxAC=\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k\\ -6&-3&-1\\ -2&-1&1\\ \end{array}\right] \)

Usando o método de duplicação das duas primeiras colunas e multiplicação em cruz:

\(ABxAC=-6k-i+6-3i+2+6k\\ ABxAC=-4i+8+0k\\ ABxAC=(-4,8,0) \)

Sabemos que a equação do plano é:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

Assim:

\(Ax+By+Cz+D=0\\ -4x+8y+D=0\)

Para encontrarmos D, basta substituirmos um dos pontos dados no enunciado em x e y:

\(-4x+8y+D=0\\ -4(2)+8(1)+D=0\\ D=0 \)

Assim, a equação do plano é:

\(\boxed{-4x+8y=0}\)