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Utilizamos o intervalo de confiança quando queremos, a partir de uma amostra, estimar qual é a média de uma população. Assim, encontramos um intervalo para o qual termos certeza de que a nossa amostra representa a população, e estabelecemos um nível de confiança estatística \(\alpha\),

O intervalo de confiança para uma amostra onde não e conhece a variância da população, que é o nosso caso, é encontrada por:

\[IC(\mu, 1-\alpha) = \left( \bar{X} - t_{\alpha/2} \dfrac{s}{\sqrt{n}}; \bar{X} + t_{\alpha/2} \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

Essa fórmula nos diz que o Intervalo de confiança para uma amostra de média \(\mu\) e de probabilidade \(1 - \alpha\) é dada por um intervalo \(t_{\alpha/2}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)em torno da média.

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Questão 1)

Sabendo da forma para se encontrar o intervalo de uma confiança onde não sabemos a variância da população, calculamos primeiro os valores média, desvio padrão da amostra e e o valor t.

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Cálculo da média da amostra:

\[\eqalign{&\bar{X} = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i)}{n}\\& \bar{X} = \dfrac{405 + 348 + \dots + 143 + 172}{15}\\& \bar{X} = \dfrac{4691}{15}\\& \bar{X} = 312.734}\]

Cálculo do desvio-padrão amostral:

\[\eqalign{&s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}\\& s = \sqrt{\dfrac{(405 - 312.7\bar{3})^2 + \dots + (172 - 312.7\bar{3})^2}{14}}\\& s = 185.80}\]

Olhando a tabela de distribuição de probabilidades em uma distribuição do tipo t-student, temos

\[t_{\alpha/2} = 2.145\]

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Agora, aplicando esses valores na equação de intervalo de confiança,

\[\eqalign{&IC(\mu, 0.05) = \left( 312.734 - 2.145 \dfrac{185.80}{\sqrt{15}}; 312.734 + 2.145 \dfrac{185.80}{\sqrt{15}} \right)\\& IC(\mu, 0.05) = \left( 312.734 - 102.903; 312.734 + 108.903 \right)\\& IC(\mu, 0.05) = ( 209.83; 415.637 )}\]

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A partir da identificação de que a distribuição não possui o dado de variância populacional, calculamos o intervalo de confiança da amostra sobre rolamentos e obtivemos o intervalo \(\boxed{209.83; 415.637}\).

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Questão 2)

De maneira análoga ao realizado na questão 1, calculamos as variáveis necessárias para cálculo de um intervalo de confiança para o caso de uma amostra sem o dado de variância populacional.

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Cálculo da média da amostra:

\[\eqalign{&\bar{X} = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i)}{n}\\& \bar{X} = \dfrac{137 + 154 + \dots + 150 + 158}{15}\\& \bar{X} = \dfrac{4556}{30}\\& \bar{X} = 151.867}\]

Calculo do desvio padrão amostral:

\[\eqalign{&s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}\\& s = \sqrt{\dfrac{(137 - 151.8\bar{6})^2 + \dots + (158 - 151.8\bar{6})^2}{29}}\\& s = 9.712}\]

Olhando a tabela de distribuição de probabilidades em uma distribuição do tipo t-student, temos também

\[t_{0.95/2} = 2.145\]

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Aplicando os valores calculados na equação de intervalo de confiança,

\[\eqalign{&IC(\mu, 0.05) = \left( 151.867 - 2.145 \dfrac{9.712}{\sqrt{30}}; 151.867 + 2.145 \dfrac{9.712}{\sqrt{30}} \right)\\& IC(\mu, 0.05) = \left( 151.867 - 3.803; 151.867 + 3.803 \right)\\& IC(\mu, 0.05) = \left( 148.064; 155.67 \right)}\]

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A partir da identificação de que a distribuição não possui o dado de variância populacional, calculamos o intervalo de confiança da amostra sobre rolamentos e obtivemos o intervalo \(\boxed{( 148.064; 155.67 )}\).

É preciso de uma tabela da confiança "c".

n=15

Preciso encontrar a média, a variância e se eu não tô enganado o desvio padrão.

E também a "margem de erro".