Como e faz um exercício de frações parciais com dua funções de 2º?

Bom dia, Jéssica!

Eu faria primeiro a divisão entre as duas equações, assim:

5x²-12x-12 | x²+x-2

                   ----------

-5x²-5x+10    5

       -17x-2

Então, realizando a divisão, ficamos com:

(5x²-12x-12)/(x²+x-2)=5+(-17x-2)/(x²+x-2)

A equação do segundo grau x²+x-2 pode ser escrita como (x-1)(x+2), então:

∫(5x²-12x-12)/(x²+x-2)dx=∫(5+(-17x-2)/(x²+x-2))dx=

∫(5+(-17x-2)/((x-1)(x+2))dx

Agora ficou mais fácil, né? Basta fazermos o habitual para a resolução de frações parciais:

∫(5+(-17x-2)/((x-1)(x+2))dx=∫5dx-∫(17x+2)/((x-1)(x+2))dx

Vamos desenvolver este:

(17x+2)/((x-1)(x+2))=A/(x-1)+B/(x+2)

(17x+2)/((x-1)(x+2))=(A(x+2)+B(x-1))/((x-1)(x+2))

17x+2=A(x+2)+B(x-1)

17x+2=(A+B)x+2A-B

A+B=17

2A-B=2

Sai:

3A=19, então, A=19/3

B=17-A=17-19/3=(51-19)/3=32/3

Então, fechando a integral:

∫5dx-∫(17x+2)/((x-1)(x+2))dx=5x-(19/3)∫(1/(x-1))dx-(32/3)∫(1/(x+2))dx

5x-(19/3)ln|x-1|-(32/3)ln|x+2|+K

Espero ter ajudado!

\(\[\begin{align} & \frac{\left( 5x{}^\text{2}-12x-12 \right)}{\left( x{}^\text{2}+x-2 \right)}=5+\frac{\left( -17x-2 \right)}{\left( x{}^\text{2}+x-2 \right)} \\ & \int \frac{\left( 5x{}^\text{2}-12x-12 \right)}{\left( x{}^\text{2}+x-2 \right)}dx=\int 5+\frac{\left( -17x-2 \right)}{\left( x{}^\text{2}+x-2 \right)}dx= \\ & \int \frac{(5+\left( -17x-2 \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)}dx \\ & \frac{\int (5+\left( -17x-2 \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)}dx=\int 5dx-\int \frac{\left( 17x+2 \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)}dx \\ & \frac{\left( 17x+2 \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)}=\frac{\frac{A}{\left( x-1 \right)+B}}{\left( x+2 \right)} \\ & \frac{\left( 17x+2 \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)}=\frac{\left( A\left( x+2 \right)+B\left( x-1 \right) \right)}{\left( \left( x-1 \right)\left( x+2 \right) \right)} \\ & 17x+2=A\left( x+2 \right)+B\left( x-1 \right) \\ & 17x+2=\left( A+B \right)x+2A-B \\ & A+B=17 \\ & 2A-B=2 \\ & 3A=19\text{ } \\ & A=\frac{19}{3} \\ & B=17-A=17-\frac{19}{3}=\frac{\left( 51-19 \right)}{3}=\frac{32}{3} \\ & Logo \\ & \int 5dx-\int \frac{\left( 17x+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}dx=5x-\left( \frac{19}{3} \right)\int \left( \frac{1}{\left( x-1 \right)} \right)dx-\left( \frac{32}{3} \right)\int \left( \frac{1}{\left( x+2 \right)} \right)dx \\ & 5x-\left( \frac{19}{3} \right)ln\left| x-1 \right|-\left( \frac{32}{3} \right)ln\left| x+2 \right|+K \\ \end{align}\] \)