Geometria no Espaço Tridimensional

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 01
Questão 1. Considere os pontos no espaço tridimensional R3: A(2,−1, 4), B(−3, 5, 2)
e C(0, 2,−1).
a) Calcule a distância entre os pontos A e B.
b) Determine a distância entre os pontos B e C.
c) Encontre o ponto médio do segmento AC.
Solução:
a) Distância entre A e B: A fórmula da distância euclidiana entre dois pontos no espaço
tridimensional é:
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Substituindo as coordenadas de A(2,−1, 4) e B(−3, 5, 2):
dAB =
√
(−3− 2)2 + (5− (−1))2 + (2− 4)2
dAB =
√
(−5)2 + (6)2 + (−2)2
dAB =
√
25 + 36 + 4
dAB =
√
65
Portanto, a distância entre A e B é aproximadamente 8.06 unidades.
b) Distância entre B e C: Utilizando a mesma fórmula, substituímos as coordenadas
de B(−3, 5, 2) e C(0, 2,−1):
dBC =
√
(0− (−3))2 + (2− 5)2 + (−1− 2)2
dBC =
√
(3)2 + (−3)2 + (−3)2
dBC =
√
9 + 9 + 9
dBC =
√
27
dBC = 3
√
3
Portanto, a distância entre B e C é 3
√
3 unidades.
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
c) Ponto médio de AC: Para encontrar o ponto médio entre os pontos A(2,−1, 4) e
C(0, 2,−1), calculamos as médias das coordenadas correspondentes:
xm =
2 + 0
2
= 1
ym =
−1 + 2
2
=
1
2
zm =
4− 1
2
=
3
2
O ponto médio M entre A e C é M(1, 1
2
, 3
2
).
Portanto, resolvemos os três itens do exercício.
Questão 2. Considere as seguintes superfícies no espaço tridimensional R3:
1. A superfície S1 definida pela equação x2 + y2 + z2 = 16.
2. A superfície S2 definida pelo plano z = 3.
Determine a interseção entre as superfícies S1 e S2, descrevendo qual é essa curva, e
dê as coordenadas de alguns pontos nela.
Solução:
Interseção das Superfícies: Para encontrar a interseção entre as superfícies
S1 e S2, combinamos as equações das superfícies e resolvemos o sistema resultante.
Substituindo z por 3 na equação de S1:
x2 + y2 + 32 = 16
x2 + y2 = 16− 9
x2 + y2 = 7
Isso nos leva a um círculo de raio
√
7 no plano z = 3.
Pontos de Interseção: Os pontos de interseção são todos os pontos pertencentes
ao círculo x2 + y2 = 7 a uma distância de 3 unidades para cima do plano xy.
Por exemplo, alguns pontos de interseção podem ser:
• (
√
7, 0, 3)
• (−2,
√
3, 3)
• (−2,−
√
3, 3)
• (−1,
√
6, 3)
• (−1,−
√
6, 3)
• (0,
√
7, 3)
• (0,−
√
7, 3)
Esses são alguns exemplos de pontos de interseção entre as superfícies S1 e S2,
mas existem infinitos outros pontos que também satisfazem a interseção.
Questão 3. Considere os vetores u = (−1, 2, 3) e v = (4,−2, 0) em R3.
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a) Calcule a norma (magnitude) dos vetores u e v.
b) Calcule o produto interno (produto escalar) entre os vetores u e v.
c) Verifique se os vetores u e v são ortogonais.
Solução:
a) A norma dos vetores u e v é dada por:
||u|| =
√
(−1)2 + 22 + 32 =
√
14
||v|| =
√
42 + (−2)2 + 02 = 2
√
5
b) O produto interno entre os vetores u e v é:
u · v = (−1) · 4 + 2 · (−2) + 3 · 0 = −8
c) Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Neste caso:
u · v = −8 ̸= 0
Portanto, os vetores u e v não são ortogonais.
Questão 4. Um barco parte de um ponto A com coordenadas (1, 2, 0) e navega até
um ponto B com coordenadas (−2, 3, 4) no espaço tridimensional R3. Considere que
os pontos representam posições no espaço.
a) Determine o vetor de deslocamento AB que representa o movimento do ponto A
ao ponto B.
b) Calcule a distância entre os pontos A e B utilizando a norma (magnitude) do vetor
de deslocamento.
Solução:
a) O vetor de deslocamento AB é dado pela diferença das coordenadas de B pelas
coordenadas de A:
AB = B−A = (−2, 3, 4)− (1, 2, 0) = (−3, 1, 4)
b) A distância entre os pontos A e B é a norma do vetor de deslocamento AB:
∥AB∥ =
√
(−3)2 + 12 + 42 =
√
26
Questão 5. Utilizando os dados da questão 4, determine o ângulo entre os vetores
OA e OB, onde OA é o vetor que parte da origem até o ponto A e OB é o vetor
que parte da origem até o ponto B.
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Solução: O ângulo entre os vetores OA e OB é dado pelo cosseno do ângulo entre
eles. O produto interno entre dois vetores u e v é dado por u · v = ∥u∥∥v∥ cos θ,
onde θ é o ângulo entre eles. Como OA e OB partem da origem, o produto interno
é OA ·OB = ∥OA∥∥OB∥ cos θ. Isolando o cosseno do ângulo:
cos θ =
OA ·OB
∥OA∥∥OB∥
Substituindo os valores:
cos θ =
(1, 2, 0) · (−2, 3, 4)√
12 + 22 + 02
√
(−2)2 + 32 + 42
=
4√
5
√
29
E, finalmente, calculando o ângulo:
θ = cos−1
(
4√
5
√
29
)
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