C2 Notas da Aula 26 - 2023_4

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Aula 26 - Momento de Inércia e Área
Objetivos da Aula:
✓ Calcular o momento de inércia de uma lâmina com densidade variável;
✓ Calcular a área de uma região usando integrais duplas.
1 Momento de Inércia
Veremos agora mais duas aplicações da integral dupla, começando com o Momento de Inécia,
que é uma grandeza f́ısica que estima a dificuldade de alterar o estado de movimento de um
corpo em rotação. Ou seja, quanto maior for o momento de inércia de um corpo, maior será a
dificuldade de fazê-lo girar ou alterar a sua rotação.
O momento de inércia I de uma part́ıcula de massa m em relação a um eixo é calculado
pela expressão
I = mr2,
onde r é a distância da part́ıcula ao eixo.
Suponha agora que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade em
um ponto (x, y) ∈ D é dada por uma função cont́ınua ρ(x, y). Seguindo os mesmos passos
da aula passada, é posśıvel calcular o momento de inércia em relação ao eixo x. De fato,
dividindo D em pequenos retângulos, aproximando o momento de inércia de cada sub-retângulo
em relação ao eixo x e tomando o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta
indefinidamente, obtemos:
Ix = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
[y∗ij]
2ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
y2ρ(x, y)dA.
De forma análoga, obtemos o momento de inércia em relação ao eixo y:
Iy = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
[x∗
ij]
2ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
x2ρ(x, y)dA.
Por fim, é ainda importante considerar o momento de inércia em relação à origem, também
chamado de momento polar de inércia:
I0 = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
[(x∗
ij)
2 + (y∗ij)
2]ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y)dA.
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II - 2023-4
2
Note que I0 = Ix + Iy.
Exemplos
(01) Determine os momentos de inércia Ix, Iy e I0 de um disco D com densidade ρ(x, y) = c,
centro na origem e raio a.
Solução:
O disco D pode ser descrito pela inequação x2 + y2 ≤ a2. Em coordenadas polares,
0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Sendo assim, obtemos:
I0 =
∫∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y)dA = c
∫ 2π
0
∫ a
0
r3drdθ =
c π a4
2
Note que, pela simetria do disco, Ix = Iy. Logo,
Ix =
I0
2
=
c π a4
4
= Iy.
□
(02) Determine o momento de inércia em relação ao eixo y de uma lâmina com densidade
ρ(x, y) = c y ocupando uma região limitada pelas curvas
y = 1− x2 e y = 0.
Solução:
Neste caso, temos uma região do tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2; −1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1− x2}.
Sendo assim, obtemos:
Iy =
∫∫
D
x2ρ(x, y)dA
= c
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
yx2dydx
=
c
2
∫ 1
−1
x2(1− x2)2dx
=
c
2
∫ 1
−1
(x2 − 2x4 + x6)dx.
Logo, pela paridade da função, segue que
Iy = c
∫ 1
0
(x2 − 2x4 + x6)dx = c
(
x3
3
− 2
x5
5
+
x7
7
) ∣∣∣∣1
0
=
8
105
c
UFPA Cálculo II 3
2 Área de uma Região
Uma aplicação geométrica importante das integrais duplas consiste no cálculo de áreas. Com
efeito, considere um sólido com altura unitária e seção transversal constante, conforme a figura
a seguir.
Neste caso, o volume pode ser calculado pelo produto da base pela altura, isto é,
V = A(D) · 1.
Por outro lado, este volume também pode ser calculado por uma integral dupla:
V =
∫∫
D
1 dA.
Portanto,
A(D) =
∫∫
D
dA.
Em outras palavras, quando integramos a função constante f(x, y) = 1 sobre uma região
D, obtemos a área de D.
4
Exemplos
(01) Calcule a área da região delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4.
Solução:
Fazendo um esboço da região, obtemos:
Considerando uma região do tipo II, temos:
D = {(x, y) ∈ R2; y2 ≤ x ≤ 4 e − 2 ≤ y ≤ 2}.
Sendo assim,
A =
∫∫
D
dA =
∫ 2
−2
∫ 4
y2
dxdy =
∫ 2
−2
(4− y2)dy.
Logo, pela paridade da função, segue que
A = 2
∫ 2
0
(4− y2)dy = 2
(
4y − y3
3
) ∣∣∣∣2
0
=
32
3
□
UFPA Cálculo II 5
(02) Calcule a área de um cardioide, dado pela curva polar r = 1 + sen θ.
Solução:
Fazendo um esboço da região, obtemos:
Em coordenadas polares,
0 ≤ r ≤ 1 + sen θ e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Sendo assim,
A =
∫∫
D
dA =
∫ 2π
0
∫ 1+sen θ
0
r drdθ
=
1
2
∫ 2π
0
(1 + sen θ)2dθ
=
1
2
∫ 2π
0
(1 + 2 sen θ + sen 2θ)dθ.
Sabendo que
∫ 2π
0
sen θdθ = 0 e sen 2θ =
1
2
− 1
2
cos(2θ), conclúımos que
A =
1
2
∫ 2π
0
(
1 +
1
2
− 1
2
cos(2θ)
)
dθ
=
3
4
∫ 2π
0
dθ − 1
4
∫ 2π
0
cos(2θ)dθ
=
3
2
π
□
6
(03) Calcule a área de uma rosácea de quatro pétalas, dada pela curva polar r = cos(2θ).
Solução:
Fazendo um esboço da região, obtemos:
Em coordenadas polares,
0 ≤ r ≤ cos(2θ) e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Entretanto, pela simetria da região, vamos calcular a área da metade de uma pétala e depois
multiplicar o resultado por 8 para obter a área total. Sendo assim, considerando 0 ≤ θ ≤ π
4
,
A8 =
∫∫
D
dA =
∫ π
4
0
∫ cos(2θ)
0
r drdθ
=
1
2
∫ π
4
0
cos2(2θ)dθ
=
1
2
∫ π
4
0
(
1
2
+
1
2
cos(4θ)
)
dθ
=
1
2
(
θ
2
+
1
8
sen (4θ)
) ∣∣∣∣π4
0
=
π
16
Logo,
A = 8 · A8 =
π
2
□
UFPA Cálculo II 7
Aprofundando o Contéudo
Leia mais sobre o contéudo desta aula nas Seções 15.3 e 15.5 do livro-texto.
Sugestões de Exerćıcios
Resolva os exerćıcios das Seções 15.3 e 15.5 do livro-texto.
Fonte: STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2010 (Volume 2).
	Momento de Inércia
	Área de uma Região