Cálculo diferencial é integral à uma variavel
alguém por favor sabe resolver?

Question

RD Resoluções · Answer

A reta que passa pelo ponto $(1,1)$ é:

$\Longrightarrow y_{(1,1)} = ax+b$

$\Longrightarrow y_{(1,1)} = {1-0 \over 1-0}x+0$

$\Longrightarrow \underline { y_{(1,1)} = x }$

E a reta que passa pelo ponto $(2,{1 \over 2} )$ é:

$\Longrightarrow y_{(2,{1 \over 2} )} = ax+b$

$\Longrightarrow y_{(2,{1 \over 2} )} = { 1/2-0 \over 2-0}x+0$

$\Longrightarrow \underline {  y_{(2,{1 \over 2} )} = {1 \over 4}x }$

A área $A_1$ do intervalo $[0,1]$ é:

$\Longrightarrow A_1 = \int \limits_0^1 \Big [ y_{(1,1)} - y_{(2 , {1 \over 2} ) } \Big ]  \partial x$

$\Longrightarrow  A_1 =  \int \limits_0^1 \Big [ x-{1 \over 4 }x \Big ]  \partial x$

$\Longrightarrow  A_1 =  \int \limits_0^1 {3 \over 4 }x \, \partial x$

$\Longrightarrow  A_1 =  {3 \over 4 } \cdot {1 \over 2}x^2 \bigg |_0^1$

$\Longrightarrow  A_1 =  {3 \over 8}(1^2-0^2)$

$\Longrightarrow \underline { A_1 =  {3 \over 8} }$

A área $A_2$ do intervalo $[1,2]$ é:

$\Longrightarrow A_2 = \int \limits_1^2 \Big [ y - y_{(2 , {1 \over 2} ) } \Big ]  \partial x$

$\Longrightarrow A_2 = \int \limits_1^2 \Big [ {1 \over x} - {1 \over 4}x \Big ]  \partial x$

$\Longrightarrow A_2 =  \Big [ \ln x - {1 \over 4}\cdot {1 \over 2}x^2 \Big ] \bigg| _1^2$

$\Longrightarrow A_2 =  \Big [ \ln 2 - {1 \over 8}(2)^2 \Big ] -\Big [ \ln 1 -  {1 \over 8}(1)^2 \Big ]$

$\Longrightarrow A_2 =  \Big [ \ln 2 - {1 \over 2} \Big ] -\Big [ 0 -  {1 \over 8} \Big ]$

$\Longrightarrow A_2 =  \ln 2 - {1 \over 2}+  {1 \over 8} $

$\Longrightarrow \underline {  A_2 =  \ln 2 - {3 \over 8}  }$

Portanto, a área total $A$ da região destacada é:

$\Longrightarrow A  =A_1+A_2$

$\Longrightarrow A  ={3 \over 8} + \ln 2 -{3 \over 8}$

$\Longrightarrow \fbox {$ A  =\ln 2 \approx 0,693 $}$

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